计算方法实验指导书彭彬计算机技术实验中心2012年3月· 实验环境： VC++ 6.0· 实验要求：在机房做实验只是对准备好的实验方案进行验证，因此上机前要检查实验准备情况，通过检查后方可上机。

没有认真准备的学生不能上机，本次实验没有分数。

实验中要注意考察和体会数值计算中出现的一些问题和现象：误差的估计,算法的稳定性、收敛性、收敛速度以及迭代初值对收敛的影响等。

· 关于计算精度：如果没有特别说明，在计算的过程中，小数点后保留5位数字，最后四舍五入到小数点后四位数字。

迭代运算的结束条件统一为51102-⨯。

在VC++ 6.0中，可使用setprecision 在流的输出中控制浮点数的显示（缺省显示6位）。

演示如下： # include<iostream.h> # include<math.h> # include<iomanip.h>//输出6位精度，输出左对齐cout<<setprecision(6)<<setiosflags(ios::left); //设置输出宽度为12（不够将补充0） cout<<setw(12)<<coeff[i];· 关于图形绘制本课程个别实验要求画出函数的曲线，所有画图题目均要求用MFC 完成。

利用VC++6.0的MFC 画图，先要建立一个工程，然后在***View 中加入自定义变量、自定义函数等，最后在OnDraw （）方法中调用自定义函数。

也可以把代码直接写入OnDraw （）方法中。

画曲线有两种方法，（一）一句坐标逐个打点（用SetPixel()函数），（二）先把当前光标移动（MoveTo （）函数）到曲线的始点，再用LineTo （）函数画线。

线的样式由画笔决定。

对封闭区域可以填充，填充的样式由画刷决定。

在VC++6.0中,先新建一个MFC AppWizard(exe)类型的工程(建立工程时，“应用程序类型”选择“单文档”；“是否包含数据库”选择“不包含数据库”；其它选择缺省),然后在“ClassView ”中选择XXView 类文件加以操作。

图1是一个名为test 的工程，在CtestView 节点，点击右键，用户可以增加自定义变量，自定义函数。

图1 MFC工程图2是一个自定义函数的例子，代码如下：void CTestView::drawOldLine(int N, CDC *pDC) //N—画线所用点的数目{pDC->TextOut(250,10,"龙格现象");//文本输出//设置画笔，将影响画线的样式CPen *pnewPen,*poldPen;pnewPen=new CPen();pnewPen->CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(0,0,0));poldPen=pDC->SelectObject(pnewPen);//画坐标系pDC->MoveTo(0,380); pDC->LineTo(640,380);pDC->MoveTo(320,0); pDC->LineTo(320,480);//画曲线,先移动到本曲线的第一个点pDC->MoveTo(20,380);for(int i=0;i<=N;i++){//原始坐标float x0=-1+2.0/N*i;float y0=1.0/(1+4*x0*x0);//坐标放大x0=x0*300;y0=-y0*300;//坐标转化为整型int x1=(int)(320+x0);int y1=(int)(440+y0);pDC->LineTo(x1,y1);}//重置画笔pDC->SelectObject(poldPen);}图 2 自定义函数画函数21()14f x x=+的图形图3是一个根据Lagrange 插值多项式求函数值的自定义函数Lagrange(float x, int n, float x1[], float y1[])，其中n 是插值节点的个数，数组X1,y1存放插值节点的坐标，x 是待求点的x 坐标，函数根据插值多项式返回对应的y 坐标。

float CTestView::Lagrange(float x, int n, float x1[], float y1[]) {float y=0;//存放函数值int k=0;//控制变量,求lagrange 基函数的值 for( k=0;k<n;k++) { float t=1; for (int j=0;j<n;j++) { if (j!=k) t=t*(x-x1[j])/(x1[k]-x1[j]); } y=y+t*y1[k]; }return y; }图3 自定义函数，根据插值多项式求值图4是onDraw 函数，这是MFC 画图的主要部分。

相关代码如下： void CTestView::OnDraw(CDC* pDC) { CTestDoc* pDoc = GetDocument();//画原始图形drawOldLine(2000,pDC);float px[11],py[11];图4 OnDraw()函数的内容//N--N等分for(int N=2;N<=10;N=N+2){//求插值节点for(int i=0;i<=N;i++){px[i]=-1+2.0/N*i;py[i]=1.0/(1+4*px[i]*px[i]);}//移动到第一个点pDC->MoveTo(20,380);//设置画笔CPen *pnewPen,*poldPen;pnewPen=new CPen();pnewPen->CreatePen(PS_DASHDOT,1+N/2,RGB(255-20*N,0+10*N,20*N));poldPen=pDC->SelectObject(pnewPen);//按照插值节点求插值多项式的值,并描点for(int k=0;k<=2000;k++){float x=-1+2.0/2000*k;float y=Lagrange(x,N+1,px,py);//注意N+1个节点//坐标变换x=x*300;//转化为整型int x1=(int)(320+x);int y1=(int)(440+y);if (N==2 && x1==80)pDC->TextOut(x1,y1,"二等分"); if (N==4 && x1==50)pDC->TextOut(x1,y1,"四等分");if (N==6 && x1==60)pDC->TextOut(x1,y1,"六等分");if (N==8 && x1==580)pDC->TextOut(x1,y1,"八等分");if (N==10 && x1==600)pDC->TextOut(x1,y1,"十等分");pDC->LineTo(x1,y1);}//重置画笔pDC->SelectObject(poldPen);}}实验项目一览表实验一 一元非线性方程求根的算法【实验性质】综合性实验。

【实验目的】了解非线性方程求根的基本方法；掌握二分法和牛顿法。

【实验内容】选择合适的初值，用二分法和牛顿迭代法求出一元非线性方程3()sin 41f x x x x =--+的全部实根，610ε-=。

【理论基础】数值法求非线性方程的跟一般分三步： ① 判定根的存在性； ② 确定根的分布范围 ③ 根的精确化常用的数值方法有二分法和迭代法。

二分法的基本思想是：先确定有根区间，然后通过逐步缩小（二分区间）有根区间的长度，以求根的近似值。

二分法只能求实根，不能求复根及重根。

迭代法通过建立一个迭代序列来逼近根。

迭代效果与迭代初值、迭代公式的收敛性有关。

迭代初始值一般根据高等数学的知识或作图的方法来确定；迭代公式通过对已知方程的某种变换得到。

迭代的收敛性以及收敛速度不仅与迭代公式有关，可能还与迭代初值有关。

牛顿迭代是常用的迭代方法。

把()f x 在k x 处按泰勒公式展开为：()()k f x f x =+2()()()()2!...k k k f f x x x x x ξ'''-+-+，忽略高次项，得到()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-。

如果x *是方程的根，则有：()()()()0k k k f x f x f x x x *'≈+-≈由此得：()()k k k f x x x f x *=-' 从而建立起牛顿迭代公式： 1()()k k k k f x x x f x +=-'当相邻两次迭代结果满足1k k x x ε+-≤时停止计算。

如果非线性方程为一元多项式方程，则其牛顿解法的关键在于求()k f x 与()k f x '，这时可以用如下的快速算法（秦九韶算法）。

设n 次多项式()f x 为：0111()...n n n n f x a x a x a x a --=++++1n -次多项式()Q x 为：01121()...n n n n Q x b x b x b x b ---=++++如果()f x 、()Q x 满足()()()k n f x x x Q x b =-+ （1）则有()k n f x b =于是求()k f x 就转换为求系数n b 。

将式（1）展开，有如下递推关系：00b a =⎧⎨因此可以用上述递推公式求出n b ，从而计算出()k f x 。

同理，设2n -次多项式01132()...n n n n H x c x c x c x c ---=++++满足1()()()k n Q x x x H x c -=-+ （2）则有()()()()k f x x x Q x Q x ''=-+1()()k k n f x Q x c -'==由（2）式有递推关系：0001,1,2,...,1ii i k c b a c b c x i n -==⎧⎨=+=-⎩ 因此求()k f x '可以用上式递推计算。

【实验过程】1. 手工或用MFC 画出3()sin 41f x x x x =--+的图形。

【MFC 画图代码】2.估计三个有根区间，用二分法求出三根，并用下述样式的表描述求根过程。