二、矢量的基本运算
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1 , e2 , e3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量的分量
x3
P
e3
r
e2 x2
o
x1 e1
二、矢量的基本运算
1、矢量点积
ei e j ij
张量分析
一、指标符号 二、矢量的基本运算 三、坐标变换与张量的定义 四、张量的代数运算 五、二阶张量（仿射量） 六、张量分析
一、指标符号
1、指标符号 例如 , 三维空间任意一点 P 在笛卡儿坐 x 标系
3
P
e3
r
e2 x2
x1 , x2 , x3 xi , i 1,2,3
o
x1 e1
用指标符 号表示为
三、坐标变换与张量的定义
旧坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1 , e2 , e3 ) 新坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1 , e2 , e3 ) 新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有 11 22 33 1
12 21 23 32 31 13 0
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
eijk
偶次置换
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
e321
31 32 33 0 0 1 21 22 23 0 1 0 1 11 12 13 1 0 0
eijk e jik eikj ekji eijk e jki ekij
Kronecker delta符号与置换符号的关系
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但 ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3 而 i i 11 22 33 3 ，故 ei ei i i
i i 是一个数值，即 注意：
奇次置换
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
ei jk 也称为三维空间
的排列符号。
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
i1 i 2 i 3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2 k1 k 2 k 3 i 3 j 3 k 3
例 特别地，
Tk j Ti j
i kTk j i iTij Tij
i k k j ij
例
, i k k j jm i m
个数，
Ami Bn j , 34 81
求
mn
项的和。
nm Ami Bn j An i Bn j Ami Bm j
Kronecker-和Ricci符号的关系
ekijekst is jt js it
ekijekst is jt js it
eijkerjk ir jj ij jr 3ir ir 2ir eijkeijk 2 ii 6
ii 3
ei e j i j
ei ei i i
4 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号)
i j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
ij a j i1a1 i 2 a2 i 3a3 ai im Amj Aij
图2.1
数
a1 , a2 , a3 , , an x1 , x2 , x3 , , xn
变量
ai , i 1,2, , n xi , i 1,2, , n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数
n—维数
2、求和约定和哑指标
S a1 x1 a2 x2 an xn
二、矢量的基本运算
3、矢量的混合积
a b c eijk ai b j ek cr er eijk ai b j cr kr eijk ai b j ck
ei e j ek eijrer ek eijr rk eijk
Ricci符号
ei jk ei jlel ek (ei e j ) ek (ek ei ) e j (e j ek ) ei
新 旧
e1
e 2
e3
e1
11
21
1 2
13
e2
2 2
3 2
23
ei ei e j e j ije j ei ei e j e j ije j ij 变换系数 ij ji ij ei e j ik ek jt et ik jt kt ik jk ij ei e j ikek jtet ik jt kt ik jk
u j jiui
u j ij ui
矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变
三、坐标变换与张量的定义
推广矢量的概念
ui iiui
张量的定义
Ti1 i1i1Ti1
Ti1i2 i1 i1 i2 i2 Ti1i2
若在空间任一组基 e i 下,有用n个指标编号的 3n个数 Ti1i2in 当基矢量按 ei iiei 变换成 ei 时, 3n 个数 Ti1i2in 如下规律变换 按
张量的阶——自由指标的数目
i i i i
' '
不变性记法
ijkl ei e j ek el
三、坐标变换与张量的定义
标量
矢量
零阶张量，不随坐标变换而变的不变量
一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它
随坐标系的变化而变化 在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零,按定义, 则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零 张量,O
eijk e pqr
i1 i 2 i 3 p1 q1 r1 j1 j 2 j 3 p 2 q 2 r 2 k1 k 2 k 3 p 3 q 3 r 3
i1 p1 i 2 p 2 i3 p3 i1 p1 ip
eijke pqr
ip iq ir jp jq jr kp kq kr
eijke pqr
ip iq ir jp jq jr kp kq kr
pk eijk ekqr
iq ir iq jr ir jq jq jr
例:证明 eijk 是一个三阶张量(置换张量)
三、坐标变换与张量的定义
eijk ei (e j e k ) ii ei ( j j e j k k e k ) ii jj k k ei (e j e k ) ii jj k k eijk
Ti1i2 in i1 i1 i2 i2 in in Ti1i2 in
3 个数 Ti1i2in 的有序集合为一个n阶张量.称Ti1i2in
n
三、坐标变换与张量的定义
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
S ai xi a j x j
i 1 j 1 n n
求和指标 与所用的 字母无关 指标重复 只能一次 指标范围
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
约定
S ai xi a j x j
2、求和约定和哑指标
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
双重求和
Aij xi y j A11 x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21 x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31 x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
3、自由指标
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同e1 e2 e3 Nhomakorabea证明
ei ik ek e j jk ek
a×b b a
erst ir jset eijtet eijk ek
二、矢量的基本运算
2、矢量叉积
a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b j eijk ek eijk ai b j ek c ck eijk ai b j
4 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号)
Kronecker-符号定义