a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的， 一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。 矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz
一些有用的公式: (1) (2) a b a b
(3) a a a (5) a a a
(4) a b b a a b
c ab
ab ba (a b) a b (a b) c a (b c)
(2) 矢量的积
点积:
a b abcos(a, b)
a b a1b1 a 2 b2 a3b3
λ(a b) (a) b a b a (b c) a b a c
a b b a
叉积: c a b
大小: c ab sin (a, b) 方向: 右手螺旋法则.
e1 a b a1 b1
e2
e3
a2 a3 b2 b3
a b b a a (b c) a b a c λ(a b) (a) b a (b)
混合积: a (b c)
运算结果是标量, 对应于三个矢量围成的六面体的体积 可正可负. a (b c) a b c cosθ
根据混合积物理意义有: V a (b c) b c a c a b 混合积的行列式表示:
a b c b1 c1 一个有用的公式:
1.1 绪论
1.什么是张量?
标量：在力学与其它学科中, 有些物理量只有大小没有方向, 这类物理量统称标量。常见的标量有: 质量、密度、长度、 时间、温度、功、能量等。 矢量：有些物理量既有大小又有方向，例如：力、位移、 速度、加速度等。矢量本身跟坐标系的选择没有关系。坐 标系建立后，矢量可沿坐标系进行分解，矢量的坐标分量 依赖于坐标系的选取。不同坐标系下的分量满足一定的坐 标变换关系。矢量有‘四则运算’。 张量: 张量是矢量的推广。张量对于不同坐标系有相应的 分量。张量在不同坐标系下的分量也满足一定的坐标变换 关系。张量也有四则运算。
v1 w1 a u v2 v2 b u v3 w3 cu
三重叉积:
a (b c) 它是一个矢量(方位判断)
a (b c) a c b a b c
证明：(采用直角坐标系)
e1 F b c b1 c1
e1 a F b1 F1 e2 b2 F2
(6) a b b a a b b a a b (7) (8) (9)
2
2
d nds
S
(10)
ad n ads
力学中常见的张量: 应力张量 σ ,
xx xy xz yy yz yx zx zy zz
应变张量 ε ,
xx yx zx
xy xz yy yz zy zz
弹性张量 C , σ C : ε 2. 张量分析的主要学习内容
有没有矢量除法? 例： 求证: (a b) (c d) (b c) (a d) (c a) (b d) 0
1.3 微分算子 1. 场函数
在空间某个域内的每个点x, y, z 对应一个函数 的值 则该函数称为该域内的场函数. x, y, z
x1
x3
e3
e1
e2
x2
1 i j e i e j ij 0 i j
e1 e 2 e 3 , e 2 e3 e1 , e3 e1 e 2
基矢为单位矢量，因此矢量F及其分量 F1 , F2 , F3 有相同的量纲。
矢量可在基矢上进行分解:
F F1e 1 F2 e 2 F3e 3
设有新坐标系: x1' , x2 ' , x3' , e1' , e 2 ' , e 3 ' , 新坐标的基矢可以在老坐标上分解(以平面坐标为例): 两边点乘 e1 , 两边点乘 e 2,
e1' 1'1e1 1'2e 2
e1' e1 1'1 cos( x1' , x1 )
e1' e 2 1'2 cos( x1' , x2 )
张量分析 ( Tensor analysis)
教材 张量分析，莫乃榕,华中科技大学力学系 参考书目 张量分析(第二版),黄克智等,清华大学出版 社,2003年.
第一章 矢量和张量
1.1 绪论 1.2 矢量及其代数运算 1.3 微分算子以及积分公式 1.4 坐标系以及基矢 1.5 坐标变换 1.6 张量 1.7 度量张量 1.8 张量代数 1.9 置换符号及置换张量
au a b c u V W b u cu
a1
a2 b2 c2
av bv cv
a3 b3 c3
aw bw cw
证明：(采用直角坐标系):
a1 a b c u V W b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 u1 b3 u 2 c3 u 3 a2 b2 c2 a3 u1 b3 v1 c3 w1 u2 v2 w2 av bv cv u3 a1 v3 b1 w3 aw bw cw c1 a2 b2 c2 a3 u1 b3 u 2 c3 u 3 v1 v2 v3 w1 v2 w3
其中:
F1 F e1 , F2 F e 2 , F3 F e 3 ; F1' F e1' , F2' F e 2' , F3' F e 3'
3
则有:
F1' e1' e1 F1 e1' e 2 F2 e1' e 3 F3 1' j F j
惯性矩张量 I
张量的基本性质; 张量代数; 张量微积分; 张量对时间的导数; 曲面微分法
3. 张量分析的用途 （1）从张量的角度出发便于更深刻地理解力学量 的性质, 特别是坐标变换性质。 （2）可以脱离特定的坐标系来描述物理量之间的 关系,从而使物理关系的表达更加简洁。 （3）为学习连续介质力学等高端力学理论奠定数 学基础。
标量场函数, 矢量场函数, 张量场函数
2. 哈密顿(Hamilton)算子
i j k y z x
（直角坐标系）
具有微分和矢量的双重特征 微分算子可以用来求标量场函数的梯度, 矢量场函数 的散度和旋度。
标量场函数的梯度: i j k y x z
其中 i, j, k , e1 , e 2 , e 3是直角坐标系中的单位矢量 分量记法(也要对应于一定的坐标系):
Fx , Fy , Fz
F1 , F2 , F3
F1 F e1 , F2 F e 2 , F2 F e 3
3. 矢量的代数运算及其法则 (1) 矢量和(差) c a b
i ' j cos( xi ' , x j ) 称为坐标变换系数。
ei ij 'e j ' , i 1,2,3 同理有：
j '1 3
基矢的坐标变换关系
矢量分量的坐标变换关系:
F F1e1 F2 e 2 F3e 3 F1'e1' F2 'e 2 ' F3'e 3'
式中: i ' j e i ' e j cos( xi ' , x j )
同理
Fi ij 'e j ' ,
j '1 3
i 1,2,3,
ij ' ei e j ' cos( xi , x j ' )
上面两式即为矢量分量的坐标变换式.