4.1证明所有的循环群是ABEL 群 证明：nn ,,**×x ,x m nm na b G G a b b a x xa b b a ++∈==∴=mmm 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有的循环群都是ABEL 群。
4.2x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x的阶，试证：C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝ 证：x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G再证C 是群：1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。
2、存在单位元e.3、显然满足结合性。
4、存在逆元， 设x a ·x b =e=x m x b =x m-ax a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n.证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ， 则此题要证n k ≤首先考察下列n+1个元素a a a a a n 1432,....,,,+由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为aaji i+=（n j ≤≤1）aa ajii*=由群的性质3可知，a j是单位元，即a j=e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k=e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤ 4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂：a,a2……..an解：设n=p 1a1…….p k ak ，共n 个素数的乘积，所以群G 中每个元素都以用这k 个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p 1)………(1-1/p k )所以群G 中母元素的数目为n(1-1/p 1)………(1-1/p k )个. 4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H 是G=<a>的子群，若H=<e>,显然H 是循环群，否则取H 中最小的正方幂元m a ，下面证明m a 是H 的生成元,易见m a ⊆H ，只要证明H 中的任何元素都可以表成m a 的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0≤r ≤m-1,因此有r a =qm l a -，因为m a 是H 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出la=mq a }{m a ∈证明完毕。
4.6 若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证yH xH ⋂或为空，或yH xH = 4.7 若H 是G 的子群,|H|=k,试证：|xH|=k 其中x ∈G .证明：∵H 是G 的子群，x ∈G ∴|xH|≤k如果|xH|<k,则必存在a,b ∈H,使得xa=xb, 因为且x ∈G 所以存在逆元 x -1xa=x -1xb ∴a=b ∴|H|<k 又∵|H|=k ∴|xH|=k.4.8 有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。
答案：已知|G|=n, |H|<=|G| 设G={1210.......,,-n a a a a }， H={1210......,,-n b b b b }因为H 是G 的子群，所以在H 中的一个r m b )(一定在G 中对应一个m a 使得mrmab =)(，所以有m rm a b =，则rm 一定是m 的倍数，所以则H 的阶必除尽G 的阶。
4．9 G 是有限群，x 是G 的元素，则x 的阶必除尽G 的阶。
解：证： 设|G|=g,则231,,,,g x x x x + 中必有相同元。
设k l x x =, 11k l g ≤<≤+，则l k x e -=，1l k g ≤-≤。
对于给定的x ，存在最小的正整数r ，使得r x e =。
于是23{,,,,}r H x x x x = 是G 的子群，若H G ≠，则a H ∃∉，显然，a H H ⋂=∅，2a H H r +=。
若a H H G +=， 则2,|r g r g =，否则a b H H ∃∉+，()b a H H H ⋂+=∅。
于是a b H H H G +++= ，(1)r k g+=，|r g 。
证毕。
4.10 若x 和y 在群G 作用下属于同一等价类，则x 所属的等价类Ex ，y 所属的等价类Ey 有|Ex| = |Ey|解：因为x 和y 在群G 作用下属于同一等价类，所以x 和y 在群G 作用下存在置换P 1使x 和y 互相转变，即Ex = Ey={x,y}所以|Ex| = |Ey|。
4．11 有一个3х3的正方形棋盘,若用红,蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案?解: 对于一个3×3的正方形棋盘,要求两个格着红色,其余染蓝色,如下图所示.p(x)=1/8×[(1+x)9+4(1+x)(1+x2)3+2(1+x)(1+x4)2+(1+x)(1+x2)4] x2的系数为 1/8×[C(9,2)+4(C(3,2)+C(3,1))+C(4,1)]=(36+24+4)/8=8其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案.4.12：试用Burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。
解：图一C1………………………………………………………………如图：N个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。
一共N!个。
旋转360/i，i={n,n-1,n-2,……1}；得到n种置换当且仅当i=1的置换（即顺时针旋转360/1度：P1=(c1)(c2)……(c n!);）时有1阶循环存在（因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对位置都发生了变化，所以不可能有1阶循环存在）。
不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据Burnside 引理，所以一共有(n-1)!种排列。
4.13 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案，旋转使之重合作为相同处理解：首先对每个顶点进行编号，分别为1，2，3，4，5，6，根据旋转的角度不同，共可以旋转6次，得到不同的旋转方式 旋转0度： ()()()()()()1a 123456= 1()c a =6 旋转60度： ()2a 123456= 1()c a =1 旋转120度：()()3a 135246= 1()c a =2 旋转180度：()()()4a 142536= 1()c a =3 旋转240度：()()5a 153264= 1()c a =2 旋转300度：()6a 165432= 1()c a =1所以G =6，根据Polya 定理，m=5，612()()()6123211 (15555556)2635c a c a c a l m m m G⎡⎤=+++⎣⎦⎡⎤=⨯+++++⎣⎦=故一共2635种涂色方案4.15 对一个正六面体的8个顶点，用y 和r 两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y ，其余3个顶点用色r ，求其方案数。
解： 相当于4.7节中例2中求b 5r 3的系数，为[C(8,5)+8C(2,1)]/24=34.15 对一个正六面体的8个顶点，用y 和r 两种颜色染色，其中五个顶点用色y ，其余三个顶点用色r ，求方案数？解：()1258C 8C241⨯+=34.16：用b ，r ，g 这3种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案。
解: 正5边形的运动群 绕心转 ±72。
(5)1 2个 ±144。
(5)1 2个 翻转 180。
(1)(2)2 5个 不动 (1)5 1个不同方案数为m=(35+4·31+5·33)/10=394.16 用b ，r ，g ，这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案？解：G ：(1)(2)(3)(4)(5),(1 2 3 4 5),(1 3 5 2 4),(1 4 2 5 3),(1 5 4 3 2) ,(1)(2 5)(3 4), (2)(1 3)(4 5), (3)(2 4)(1 5), (4)(3 5)(1 2),(5)(1 4)(2 3).|G|=10.应用polya 定理，不同的方案数为：5131(34*35*3)10++=394─17 一个圆圈上有n 个珠子,用n 种颜色对这n 个珠子着色,要求颜色数目不少于n 的方案数是多少?解: 使重合的运动包括绕中心旋转和绕水平对称轴翻转共产生2n 个置换群.n 个球用n 种颜色着色共有n!种不同方案.因此,所求方案数为n!/2n.4.18 若以给两个r 色球，量个b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少种不同的方案。
解：单位元素（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），格式为（1）8.绕中轴旋转90。
的置换非别为（1234）（5678），（4321）（8765） 格式为（4）2，同格式的共轭类有6个。
绕中轴旋转180。
的置换非别为（13）（24）（57）（68），格式为（2）4，同类置换有3个。
绕斜对角线旋转180。
的置换为（17）（26）（35）（48），格式为（2）4同类置换有3个。
绕斜对角线旋转120。
的置换为（136）（475）（8）（2），（631）（574）（2）（8），格式为（3）2（1）2同类置换有8个。
依据Polya 定理，不同方案数为M=（28+6×22+3×24+6×24+8×24）/24=234.18．若已给两个r 色的球，两个b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少种不同的方案？解：由P191 例4-14知，六面体顶点的置换群中有一个8(1)，六个2(4)，九个4(2)，八个22(3)(1)，本题相当于用2个顶点涂r 色，2个顶点涂b 色，4个顶点涂w 色，利用母函数形式的polya 定理知总的方案数为844422224233321()6()9()8()()24P r b w r b w r b wr b wr b w⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦其中224r b w 的系数即为所求，系数为22，总的所求方案数为22种。
4．19 试说明5S 群的不同格式及其个数。