第四章 生成函数1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4}=235(11111)1x x x x x +++-（）（2）343,,,333n +⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 解：3n G n +⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=41(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=211x-. （4）{1,k ,k 2,k 3,…}解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=11kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为A(x)=235(11111)1x x x x x +++-（）=0kk k a x ∞=∑， 此处a k =k 4.令b n =14+24+…+n 4，则b n =0nk k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生成函数为 B(x)= 0nn n b x ∞=∑=()1A x x -=34125(1111)ii i x x x x x i ∞=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得14+24+…+n 4=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321(1)(691)30n n n n n =+++-（2）1·2+2·3+…+n (n +1)解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=32(1)x x -=0k k k a x ∞=∑，此处a k = n (n +1).令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0nk k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成函数为B(x)=nn n b x ∞=∑=()1A x x -=42(1)xx -=032nk kk x x k =+⎛⎫⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)213n n n n n +++=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3. 利用生成函数求解下列递推关系： （1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑则有A(x)-f(0)-f(1)x=2()nn f n x ∞=∑=2(7(1)12(2))n nf n f n x∞=---∑=217()12()nnn n x f n x xf n x∞∞==-∑∑=7x(A(x)-f(0))-12x 2A(x).将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得22711()(34)17121314n nn x A x x x x x ∞=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0nf n f n f =-+⋅=⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)= 1(3(1)53)n nnf n x∞=-+⋅∑=03()153nn n n n x f n x x x ∞∞==+∑∑=3xA(x)+15x ·113x-.A(x)= 215(13)xx -（3）()2(1)(2)(0)0,(1)1f n f n f n f f =-+-==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)-f(1)x=2(2(1)(2))n nf n f n x ∞=-+-∑=212()()nnn n x f n x xf n x∞∞==+∑∑=2x(A(x)-f(0))+x 2A(x).将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2()12x A x x x=--.4. 设序列{n a }的生成函数为：343(1)(1)xx x x --+-,但00b a =,110b a a =-, ……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0nk n k b a ==∑，所以A(x)=()1B x x-.由此得B(x)=(1-x)A(x)= 3431xx x -+-，亦即序列{n b }的生成函数。

5. 已知生成函数239156xx x---,求对应的序列{n a }. 解：239156xx x ---=528171x x --+=11521817x x --⋅-+⋅所以a n =-5·8n -2·(-7)n.6. 有红,黄,蓝,白球各两个,绿,紫,黑球各3个,从中取出10个球,试问有多少种不同的取法？解：M r =M y =M b =M w ={0,1,2}，M g =M p =M h ={0,1,2,3}，所以该取法的个数为(1+x+x 2)4(1+x+x 2+x 3)3中x 10的系数，为678.7. 口袋中有白球5个,红球3个,黑球2个,每次从中取5个,问有多少种取法？ 解：M w ={0,1,2,3,4,5}，M r ={0,1,2,3}，M b ={0,1,2}，所以从中取5个的取法个数为(1+x+x 2)(1+x+x 2+x 3) (1+x+x 2+x 3+x 4+x 5)中x 5的系数，为12。

8. 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n 位数个数,要求其中3和7出现的次数位偶数,其它数字出现的次数无限制.解：M 1=M 5 =M 9={0,1,2,3,…}，M 3 =M 7={0,2,4,…}该排列的生成函数为24232(1...)(1...)2!4!2!x x x x ++++++=14(e x +e -x )2e 3x =14(e 5x +e 3x +e x )=140(5231)!n n nn x n ∞=+⋅+∑ 所以a n =14(5231)n n +⋅+.9. 用3个1,2个2,5个3这十个数字能构成多少个偶的四位数？解：因要组成偶的四位数，所以个位必为2，然后确定其它三位的排列即可.M 1={0,1,2,3}，M 2 ={0,1}，M 3={0,1,2,3,4,5}，故生成函数为2325(1)(1)(1)2!3!2!5!x x x x x x x ++++++++ .其中33!x 的系数为20，即可以组成20个偶的四位数。

10. 求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目. 解：可把AB 看作一个整体，用E 表示，则M A =M B =M C =M D ={0,1,2,…}，M E ={1,2,…}故有224(1)()2!2!x x x x +++++ =e(4x)(e(x)-1)=e(5x)-e(4x)=5n -4n .11. 从⋅⋅⋅{,,}n a n b n c 中取出n 个字母,要求a 的个数为3的倍数,b 的个数是偶数,问有多少种取法?解：由题意可知，M a ={0,3,6,…}，M b =M c ={0,1,2,…}，该取法的生成函数为(1+x 3+x 6+…)(1+x+x 2+x 3)2=311x -·421()1x x-- 12. 把正整数8写成三个非负整数之和，要求n 1≤3,n 2≤3,n 3≤6.问有多少种不同的方案？解：由题意可知，M 1=M 2 ={0,1,2,3}，M 3={0,1,2,3,…,6}，则生成函数为 (1+x+x 2+x 3)2(1+x+x 2+x 3+…+x 6)= 421()1x x --·711x x --=(1-2x 4-x 7+x 8+2x 11-x 15) ·31(1)x -符合题意的方案数为x 8的系数，为82421221222+++--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=13. 13. 在一个程序设计课程里,每个学生的每个任务最多可以运行10次.教员发现某个任务共运行了38次.设有15名学生,每个学生对这一任务至少做一次.求观察到的总次数的组合数.解：M 1=M 2 =…=M 15={1,2,3,…,10}，生成函数为(x+x 2+x 3+…+x 10)15=1015151()1x x x--，其中x 38的系数为371527151714114214-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

14. 用1角、2角、3角的邮票可贴出多少种不同数值的邮资？ 解：生成函数为G(x)=(1+x+x 2+…)(1+x 2+x 4+…)(1+x 3+x 6+…)=11x -·211x -· 311x-=1+x+2x 2+3x 3+4x 4+… 15. 设多重集合=∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅1234{,,,}S e e e e ,n a 表示集合S 满足下列条件的n 组合数,分别求数列{n a }生成函数. （1）每个i e 出现奇数次（i ＝1,2,3,4）； （2）每个i e 出现4的倍数次i ＝1,2,3,4）； （3）1e 出现3或7次,3e 出现2,6或8次； （4）每个i e 至少出现6次（i ＝1,2,3,4）； 解：（1）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={1,3,5,…}，故该组合数序列的生成函数为(x+x 2+x 3+…)4=x 4·41(1)x -= x 4·03n n n n x ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=403n n n n x ∞+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. X n 的系数为13n -⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={0,4,8,…}，故该组合数序列的生成函数为(1+x 4+x 8+…)4= 441(1)x -. （3）由题意知，M 1={3,7}，M 2= M 4={0,1,2,…}，M 3={2,6,8} 故该组合数序列的生成函数为(x 3+x 7)(x 2+x 6+x 8)(1+x+x 2+…)2=(x 5+2x 9+x 11+x 13+x 15) ·011n n n x ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. X n 的系数为5191111131151111112n n n n n -+-+-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝6n-56.（4）由题意知，M 1=M 2=M 3=M 4={6,7,8,…}，故该组合数序列的生成函数为(x 6+x 7+x 8+…)4=x 24·41(1)x -= x 24·03n n n n x ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2403n n n n x ∞+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. X n的系数为213n -⎛⎫⎪⎝⎭. 16. 设多重集合=∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅ 123{,,,,}k S e e e e ,n a 表示集合S 满足下列条件的n 排列（1）S 的每个元素出现偶数次； （2）S 的每个元素至少出现4次；（3）S 的每个元素至多出现i 次（i =1,2,…,k ）； （4）S 的每个元素至少出现i 次（i =1,2,…,k ）； 解：（1）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={0,2,4,…}，故该组合数序列的生成函数为24(1...)2!4!k x x +++=()()2ke x e x +-⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={4,5,6,…}，故该组合数序列的生成 函数为54(...)4!5!kx x ++=3212!3!(())k x x e x --- =(-1)i 0(())[(1)(2)(3)]k i i k e k i x e e e i =-++⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ =00((1)[1(2)(3)])/!ki i n i nk n e e i x n ∞==-++⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑ 0(1)[1(2)(3)]()knn i n i e e k a k i i =-++⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（3）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={0,1,2,…,i}，故该组合数序列的生成函数为2(1...)2!!i kx x x i ++++.（4）由题意知，M 1=M 2=M 3=…=M k ={i,i+1,i+2,…}，故该组合数序列的生成函数为 1(...)!(1)!i i k x x i i ++++.17. 用生成函数法证明下列等式：（1）2122n n n n r r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明：(1+x)n+2=(1+x)n ·(1+x)2=(1+2x+x 2) (1+x)n =x 2(1+x)n +2(1+x)n+1-(1+x)n对比左右两边x r 的系数，左边=2n r +⎛⎫⎪⎝⎭，右边=122n n n r r r +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得：2122n n n n r r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.等式得证.（2）0(1)qj j q n q j n j r r q =+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑证明：(1+x)n [(1+x)-1]q =x q (1+x)n ，对比左右两边x r 的系数，左边=00(1)(1)(1)q qnq j q j j q q x x j r n q j j -==++-+-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，右边=n r q -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此等式得证.18. 设有砝码重为1g 的3个,重为2g 的4个,重为4g 的2个,问能称出多少种重量？各有多少种方案？解：由题意知，M 1={0,1,2,3}，M 2={0,1,2,3,4}，M 4={0,1,2}，故生成函数为 (1+x+x 2+x 3)(1 +x 2+x 4+x 6+x 8)(1+x 4+x 8)=1+x+2x 2+2x 3+3x 4+3x 5+4x 6+4x 7+5x 8+5x 9+5x 10+5x 11+4x 12+4x 13+3x 14+3x 15+2x 16+2x 17+x 18+x 19故共能称出20种重量，指数即为重量类型，系数为方案数. 19. 求方程x 1+2x 2+4x 3=21的正整数解的个数. 解：由题目可以看出，x 1为奇数，故生成函数为(x+x 3+x 5+…)(x 2+x 4+x 6+…)(x 4+x 8+x 12+…)=(x 7+2x 9+x 11)4022k k k x ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑， 展开式中x 21的系数为20，亦即该方程正整数解的个数。