拉格朗日插值算法的实现
实验报告
姓名：** 年级：**** 专业：计算机科学与技术科目：数值分析题目：拉格朗日插值算法的实现
实验时间 : 2014 年 5 月27 日实验成绩: 实验教师:
一、实验名称：拉格朗日插值算法的实现
二、实验目的：
a.验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值
b.
验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。

三、实验内容：
拉格朗日插值基函数的一般形式：
也即是：
所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式：
其中，
n=1 时，称为线性插值，P1(x) = y 0*l 0(x) + y 1*l 1(x)
n=2 时，称为二次插值或抛物插值，精度相对高些, P2(x)= y0 *l 0(x)+ y1*l 1(x)+ y2 *l 2(x)
四、程序关键语句描写
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x)
{
double result=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
double temp=Y[i];
for(int j=0;j<n;j++)//插值基函数乘以相应的y 值
{
if(i!=j)
{
temp=temp*(x-X[j]);
temp=temp/(X[i]-X[j]);
}
result+=temp;
}// 求出 Pn(x)
return result;
}
五、实验源代码：
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x); //插值函数double x;//要求插值的x的值
double result;//插值的结果
char a='n';
double X[20],Y[20];
do
{
cout<<" 请输入插值次数n 的值： "<<endl;
int n;
cin>>n;
cout<<" 请输入插值点对应的值及函数值（xi,yi）:"<<endl;
for(int k=0;k<n;k++)
{
cin>>X[k]>>Y[k];
}
cout<<" 请输入要求值 x 的值： "<<endl;
cin>>x;
result=Lagrange(n,X,Y,x);
cout<<" 由拉格朗日插值法得出结果： "<<result<<endl;
cout<<" 是否要继续？ yes or no:";
cin>>a;
}while(a=='yes');
return 0;
}
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x)
{
double result=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
double temp=Y[i];
for(int j=0;j<n;j++)//插值基函数乘以相应的y 值
if(i!=j)
{
temp=temp*(x-X[j]);
temp=temp/(X[i]-X[j]);
}
}
result+=temp;
}// 求出 Pn(x)
return result;
}
六、实验用测试数据和相关结果：
1、线性插值：书上例2。

2、抛物插值：书上例3。

3、三次插值：
七、实验体会
对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道 f(x) 的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他设备中直接读出来的， f(x) 只是一个数学概念意义下的函数。

（比如：图像的方法处理，天气预报，机床加工等方面）解答这类问题的方法就是插值方法。

泰勒插值要求提供f(x) 在点 x0 处的各阶导数值，这项要求很苛刻，函数f(x) 的表达式必须相当简单才行。

如果仅仅给出一系列节点上的函数值f(x i ) = y i (i=0,1,2,n), 则插值问题可表述如下：求作 n 次多项式 P n(x) ，使满足条件 P n(x)= y i，i = 0 ，1，， n 。

这就是所谓拉格朗日（ Lagrange ）插值。

通过本次实验，我不仅学会了如何用程序实现拉格朗日插值的算法，而且更深刻的理解
了拉格朗日插值的原理及方法。