[指南]第一章度量空间-黎永锦第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V. Volterra(伏尔泰拉)(1860-1940, 意大利数学家)泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.1. 1 度量空间M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理.d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X对于任意,有 x,y,X(1) 当且仅当; x,yd(x,y),0(2) d(x,y),d(y,x);(3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z)X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d)明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0d因此是一个非负函数.EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d)为的度量子空间. (E,d)(X,d)R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时.,dX则是一个度量空间,称为上的平凡度量或离散度量. (X,d)度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.nRx,(x),y,(y)例1.1.3 对于,可以定义几种不同的度量,对于, 有iin21/2; d(x,y),[(x,y)],ii,n1n; d(x,y),|x,y|1,iin,1d(x,y),max{|x,y|}2iinnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12 空间.以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的. 例1.1.4 如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义x,(x),y,(y)sii,|x,y|iid(x,y), ,i!(1，|x,y|)i1,iixd容易知道满足度量定义中的(1)和(2),由函数,(x) =在 (0, ) 是，,1，x |a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有|a，b||a|，|b||a||b|,,， 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b| |a||b|,， 1，|a|1，|b|a,x,z,b,z,y 令,则可得到,所以d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(s,d)iiii是一个度量空间.常见的序列空间还有如下几个空间.(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,，,}例1.1.5 , 对于任意的,定义,iiii,i,,1d(x,y),sup|x,y|lx,(). 即为所有有界数列所形成的空间,如, ii,ii, 但. y,(1，(,1)),lz,(i),l,,c,{(x)|limx,0}例1.1.6 ，对于任意的,定义(x),(y),cii0ii0i,,1c. 即为所有收敛于0的数列所成的空间,如, d(x,y),sup|x,y|x,()0iii2i1，(,1)i, 但. y,(),cz,(1，(,1)),c0i03,例1.1.7 ,对于任意的,定义l,{(x)||x|,，,}d(x,y)(x),(y),l1iiii1,1i, ,1.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如, 但 ,|x,y|lx,(),lii1,1ii1,31. z,(),l1i3R 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.d(x,x),0定义 1.1.2 设是度量空间,, 若, 则称序{x},X(X,d)limn0n,,ndx列按度量收敛于,记为limx,x, 或, 此时称为{x}x,x(n,,){x}0n0n0nnn,, x收敛点列,称为的极限. {x}0n在数学分析中,大家都知道,若数列{x}是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在n度量空间也有下面的结论.{x}{x}定理 1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯(X,d)nn一.x,y,Xx,ylimx,xlimx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nnd(x,y),0d(x,y),0d(x,y),d(x,x)，d(x,y),可知.又由于,因此nnx,y{x}d(x,y),0,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一.n另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}(X,d)nn列也是收敛点列,并且极限是一样的.d(x,y)d(x,y),d(x,y)定理 1.1.2 若, ,则. 即是x,xy,ynn00n0n0和的二元连续函数. xy证明由于d(x,y),d(x,x)，d(x,y) nnn00n,d(x,x)，d(x,y)，d(y,y) n0000n因此d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0同样地,有d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) 00nnn0n0因而|d(x,y),d(x,y)|,d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0d(x,y),d(x,y)所以,. nn00如果考虑如下的问题呢,问题 1.1.1 若 X 是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢, (X,d)不一定,下面的例子是 D. D. Rothmann [A nearly discrete metric. Amer. Math.Monthly 81 (1974), 1018-1019. ] 作出的. 例1.1.8 设, 对于任意,定义R,(,,,，,)x,y,R0,当 x , y 时,,d(x,y)= ,max{|x|,|y|},当 x , y 时.,则容易验证是一度量空间. (R,d)1yx,1其实,只要取,,,, 则 x,1y,1,,nn00n11d(x,x),d(1,1),0,0d(y,y),d(,,0),,0,.n0n0nn1d(x，y,x，y)d(x，y,x，y),d(1,,1),1但, 因此不收敛于0. 所以,虽nn00nn00nx，yy,yx,x然,, 但是不收敛于. {x，y}00n0n0nn231/23在空间解析几何中,称是R中一个以{(x,x,x)|(|x,x|),r},i1230i,1 为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.xr0r.1.3 若为度量空间, 为大于0的实数,则称定义 1(X,d),{x,X|d(x,x),r}x是以为球心, 为半径的开球,记为. 而U(x,r)U(x,r)r0000 ,{x,X|d(x,x),r}x称是以为球心,为半径的闭球. B(x,r)r000抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.问题 1.1.2 在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.22例1.1.9 设为实数,}, 在上定义度量 X,{(x,x)|x,xX|x|，|x|,16121212 221/2,则以= (0, 0) 为球心4为半径的小球真包含以xd(x,y),(|x,y|，|x,y|)01122y= (3, 0)为球心6为半径的大球. 0进一步,还可以考虑下面的问题. 问题 1.1.3 对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小r,r,021球真包含大球呢, U(x,r)U(x,r)0102利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0x时, 都包含在开球中. U(x,,)n00,,,1dX例1.1.10 若为非空集合的平凡度量,则对任意及, x,X0n,NxU(x,)只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定,xNn00x,x 有. n0r,0X定义 1.1.4 设M是度量空间的子集,若存在 xX,, 使得M包含在,0U(x,)开球,中,则称M是的有界集. (X,d)0r,0x,M明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有0. d(x,x),r0{x}{x}定理 1.1.3 若为度量空间的收敛序列,则是有界的. nnN,,1n,Nlimx,x证明设, 则对于,存在,使得时,有. d(x,x),1n0n0n,,nr,max{1,d(x,x),,,,,d(x,x)}，1令, 则对任意的,有,故d(x,x),r010n,10n ,所以是有界的. {x}{x},U(x,r)nn0有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引(X,d)入另一度量,使任意子集都是有界集. M,X,d(x, y)事实上,只需令 ,则容易看出对任意,都是(,) M,XX,,(x,y),M1，d(x, y)的有界集,并且有当且仅当. d(x,x),0,(x,x),0nn例1.1.11 设s 为全体实数列,对于任意, d(x,y)x,(x),y,(y),sii,|x,y|iid=,试证明(s, d)中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛. ,i!(1，|x,y|)iii1, (n)(0),|x,x|ii 证明若, ,则 d(x, x) =0,,x,sd(x,x),0nn,n0(n)(0)i!(1，|x,x|)i1,ii故对每一个固定的 i,有 0(n)(0)|x,x|ii00 ,d(x,x)n0(n)(0)i!(1，|x,x|)0ii00因而i!d(x,x)(n)(n)0n0 |x,x|,ii001,i!d(x,x)0n0(n)(n)limx,x{x}x所以 ,即按坐标收敛于. iin000,,n,10,,,1{x}反过来,若按坐标收敛于,则对于任意,由于级数收x0n,i!i1,,1,敛,因此存在正整数m,使得 . ,,i!4im,,n()(0)对于每个i <m,有 N,使得 n > N时,有 .令 N =max {N,...,||x,x,ii 1ii4N },则当 n > N时,有 m-1,(n)(0)m,1m,1|x,x|ii4 ,,,(n)(0),i!(1，|x,x|)i,1i,1iii!(1，)4,3 ,4因此(n)(0)(n)(0)m1,,|x,x||x,x|iiiid(x,x),， n0,,(n)(0)(n)(0)i!(1，|x,x|)i!(1，|x,x|)i1im,,iiii,,3,，,,. 44limd(x,x),0.d所以即依度量收敛到. {x}xn0n0,,n1.2 度量拓扑在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.(X,d)X定义 1.2.1 设x,G是度量空间,是的子集,称为的内点,若存(X,d)GG0在的某个开球,使得. 若G的每一个点都是的内点,则称GU(x,r)U(x,r),G00 为开集. GX 另外,规定空集是开集,明显地一定是开集. ,定理 1.2.1 对于任意, 开球是度量空间(X,d)的开集. x,X,r,0U(x,r)00证明只需证明对于任意的,是的内点.xx,U(x,r)U(x,r)00r',r,d(x,x)d(x,x),r 对于,有,令,则且 r',0x,U(x,r)000d(x,y),r'时, 有,因而 y,U(x,r')d(x,y),d(x,x)，d(x,y),d(x,x)，r',r 000所以，,即是的内点,由是任意的可知是xxU(x,r'),U(x,r)U(x,r)U(x,r)000开集.下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.定理 1.2.2 设是度量空间,则 (X,d)(1) 任意个开集的并集是开集;(2) 有限个开集的交集是开集.x,:G证明 (1) 设为的一族开集,则对任意,有某个下标, G,(X,d)0,,,U(x,r),GU(x,r),G使 ,由于是开集,因而有开球,因此,故x,GG,,,:,000, 为的内点, 由是任意的可知是开集. xxGG::,,,,nG,,,,,Gi,1,2,,,,,n (2) 设为开集,对于任意,对,有x,G, x,G1nii:,1i Gr,min{r|i,1,2,,,,n}由于rU(x,r),G是开集,因此有使得,令,则 iiiii nnnU(x,r),GU(x,r),G,因而, 所以,x为的内点,从而为开集.GGii:::iii,1i,1,1idXX例1.2.1 设是非空集合,为上的平凡度量,则对任意,开球x,X0U(x,1),{x|d(x,x),1},{x}X, 因而是开集,所以,的任意子集 {x}0000 都是开集. G,{x}:x问题 1.2.1 任意多个开集的交集是否一定为开集,任意多个开集的交集不一定是开集.11d(x,y),|x,y|G,(,,)例 1.2.2 在实数空间中,,对于任意自然数,nRnnn ,11是的开集, 但不是开集. G,:(,,),{0}Rn:nn1n,C定义 1.2.2 度量空间的子集称为闭集,若的余集F,X\是开集. (X,d)FFF 由上面的定理,容易看出下面定理成立.是度量空间,则定理 1.2.3 设(X,d)X(1) 和是闭集; ,(2) 任意闭集的交集是闭集;(3) 有限个闭集的并集是闭集.与闭集有着密切联系的概念是极限点.x,XF定义 1.2.3 设是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x(X,d) FF于的的点,则称为的极限点. xxFFR 明显地,为的极限点时,不一定属于. 例如在实数空间中,0是 F = xx 10,F{| n = 1, 2,…, n,… }的极限点,但. nF容易看出,有几种方法可以检查一个点x是否为的极限点.x,X定理 1.2.4 设(X,d)为度量空间, , ,则下列条件等价:F,X0(1) 为的极限点; Fx0(2) 包含的任何一个开集都含有异于的无穷多个点; Fxx00x,x,xlimx,x. (3) 在中存在序列,且 Fnn0n0,,n定义 1.2.4 设是度量空间,,称的极限点全体为的导集,记FF(X,d)F,X F,F:F'为F'.称为F的闭包. 例1.2.3 在实数空间中,若,则,且.F,FF,[1,2]:{3,4}F',[1,2]RFX定理 1.2.5 设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:(X,d)F (1) 是闭集;F',F(2) ;(3) F,F.CFF',FF 证明 (1)(2) 若是闭集,则是开集. 如果,则. 如果 ,,F',x,F'x,F, 则对任意,必有. ,F',CCCx,FF:F,x,FF不然,假设,则有,由于是开集,且, 但这与,x,F'矛盾.F,F:F',FF',F(2)(3) 若,则. ,CF,F:F',FF,F',F(3)(1) 若,则.如果,则是闭集; ,,F,XCCx,FF,F',Fx,F'如果,则对任意,由可知,因而存在开球 ,CCCFFU(x,r):F,x,, 故,即是的内点,因此是开集,所以F是闭U(x,r),F 集.x,X定理 1.2.6 设是度量空间,,,则下列条件等价: (X,d)F,Xx,F(1) ;(2) 的每个开球都包含有的点; xFlimx,x.(3) 有序列,使得 {x},Fnn,,nx,F,F:F'x,F证明 (1)(2) 对,若,则明显地对每个开球, U(x,r)x,x,F'包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的U(x,r)U(x,r)U(x,r)xFF异于的点,所以一定含有的点. U(x,r)xF11xU(x,)dxx(,), (2)(3) 对于任意正整数,中含有的点,因而,所n,Fnnnn limx,x.以, n,,n{x},Flimx,x.x,F (3)(1) 设存在,使得如果,则明显地有,nn,,nx,xx,F{x},Flimx,x.x,F.如果,则由可知,因而由可知nnn,,nx,Fx,F',所以,.容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题.FF问题 1.2.2 在度量空间U(x,r)中,开球的闭包是否一定是闭球(X,d)0B(x,r), 0xU(x,r)B(x,r)在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球 (X,d)r000虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.例1.2.4 在R,(,,,，,)上,定义平凡度量,0,当 x , y 时,d(x,y)= ,,1当 x , y 时.,U(0,1)U(0,1),{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球. B(0,1),(,,,，,)定义 1.2.5 设是度量空间,, 称的内点全体为的内部,记(X,d)GGG,X0为G.容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立. GG,X定理 1.2.7 设F,X为度量空间,, ,则 (X,d)0G,G (1) 是开集当且仅当; G0 (2) G,G,G;00G,F(3) 当时,一定有G,F, G,F.利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.X定义 1.2.6 设为度量空间的子集,若F,X,则称在中稠密.(X,d)FFF定义 1.2.7 设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在(X,d)FFX中是疏朗的.例1.2.5 全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数 R,(,,,，,) 在中是疏朗的. ZRd在度量空间中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可(X,d) dx以利用开集来刻画序列依度量收敛于. {x}0nF. Hausdorff (1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F. Hausdorff 利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.定义 1.2.8 设是一个非空集合,是的一族子集,若满足下面的三个公XX,,理,则称(X,)是拓扑空间 ,,,(1) ,; X,,,(2) 中任意个集合的并集属于; ,,(3) 中任意有限个集合的交集属于. ,,此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑. ,,(X,,)明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑(X,d),d空间,称为度量产生的拓扑. ,(X,,)XX例1.2.6 设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,dX空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若为上的平凡xx,X,dX度量,则度量产生的拓扑就是的离散拓扑.(X,,)X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}}例1.2.7 设,={,,则为一拓扑空,,UU(X,,)z间. 但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有 yyzU:U,. ,yz 1x,y,Xr,d(x,y)明显地,在度量空间中,对于任意,只需取, 则(X,d)4U(x,r):U(y,r),,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff 空间., (X,,)X定义 1.2.9 拓扑空间称为Hausdorff 空间,若对于中的任意, x,y UU:U,x,yy,UUx,U,存在两个开集和, 使得,,且,. yxyyxx另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间(X,d) 为正规空间.例题 1.2.1 设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明FFF:F,(X,d),1212存在开集,,使得,,且. UUF,UF,UU:U,,21122121cc证明: 由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意 F:F,FF,F,F122122 cx,F,存在,使. r,0U(x,r),F1x2xrx令,则是开集,且. UF,U,(,)UUx1111:2,xF1rycr,0类似地,对于任意,存在,使得,令,则U(y,r),Fy,F,(,)UUyy122y:2,xF2是开集,且. UF,U222rryx::U(y,)如果存在,则由可知一定有z,U:U,:(,)Ux,122,yF2,xF21rryx(,)z,Ux(,)z,Uyx,F,y,F,使且. 1222因此rryxd(x,y),d(x,z)，d(y,z),，,max{r,r} xy22cy,F但这是不可能的,因为若d(x,y),r,则与矛盾;若d(x, y) <y,U(x,r),Fx22xcx,U(y,r),Frx,F, 则与矛盾. y11yF,UF,UU:U,U:U,因此由上面讨论可知,所以存在开集,且.,,12112212(X,,)Paul S. Uryosohn (1892-1924) 还证明了每一个正规的拓扑空间都可以d引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量, 化的.1.3 连续算子M. Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L 上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.X定义 1.3.1 设和(Y,)都是度量空间,为到Y的算子,,若对,x,X(X,d)T0x,,0,存在,使得时,有,则称算子在点连续,任意d(x,x),,,(Tx.Tx),,,,0T000 XX若在上的任意点都连续,则称在上连续. TT例1.3.1 设 c 为所有收敛于0的实数列的全体,在度量 d(x, y) = sup |x - y| 0ii下是度量空间,若 T 为 c 到 c 的算子,T x = 3x + y,这里 y 为 c 的一个固定00000元,则 T 为连续映射.d 事实上,由于 c 是线性空间,且由的定义可知d(x, y) = d(x - y, 0),因而对任0,,,,意 >0, 只须取 = ,则当 d(x, x) <时,有 d(Tx, Tx) = d(3x+y, 3x + y) = 000006,3d(x, x) <,因而T在x点连续,而x是c的任意点,所以T在上连续.X0000 x, 容易看出,若是到(Y,)的算子,则在点连续当且仅当对于任意(X,d)TT0x{x}limTx,Tx.收敛于的序列,有 0nn0,,n另外,还可以利用开集来刻画的连续性. T定理 1.3.1 设和(Y,)是度量空间,则在上连续当且仅当中每X,(X,d)YT个开集的逆象在中是开集. X,1,1证明若是的开集,则不妨设,对任意,有GY,x,T(G)T(G),0Tx,G,,由于是开集,因此存在,因为是连续的,所以存在> 0,GTU(Tx,,),G00,1,1x,U(x,,)Tx,U(Tx,,)U(x,,),T(U(Tx,,)),T(G)使得时,有,因而, 0000,1,1,1故是的内点,所以,由是的任意点,可知是开集.xxT(G)T(G)T(G)00,1x,X 反之,若对于中的每个开集G,都是X的开集,则对于任意Y T(G)011,,,,0X和任意,T(U(Tx,))为的开集,因此存在, 即对,U(x,,),T(U(Tx,,))000 ,,0d(Tx,Tx),,,d(x,x),,于任意,存在>0,使得时,有, 所以在点连续,xT000 X因而在上连续. T在实数空间中,[a, b] 上的连续函数一定有界并达到它的上下界. 但在度量R 空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念,列紧性是 M. Frechet在1904年发表在 Comptes Rendus 的论文引进的.下面的列紧性与紧性在实数中可由Heine-Borel-Lebesgue定理和 RBolzano-Weierstrass定理来表现.Heine-Borel-Lebesgue 定理指的是闭区间 [a, b] 为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖,而Bolzano-Weierstrass定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.XX定义 1.3.2 设(X,d)为度量空间,为的子集,若的任何序列都有在FF中收敛的子序列,并且是闭的,则称为列紧集. F定义 1.3.3 设为度量空间,的子集称为紧的,若的每个开覆盖X(X,d)FF都有有限的子覆盖, 即如果是的一族(可列或不可列)开集,且,XG,FG,,:,1 n则一定存在有限个开集, ,使得. GGG,,,,,:G,F,,,,n21i,1i在度量空间中,的子集的列紧性与紧性是一致的. X(X,d)定理 1.3.2 设是度量空间, ,则是列紧的当且仅当是紧(X,d)F,XFF的.由紧集的定义容易得到下列的简单性质.定理 1.3.3 设是度量空间,则 (X,d)(1) 只有有限个点的子集是紧集;(2) 紧集是有界闭集;(3) 紧集的任意闭子集是紧的;(4) 任意一族紧集的交集是紧集.X,{1,2,3,,,,,n,,,,} 但度量空间的有界闭集不一定是紧的,如在中,定义平凡度F,{2,4,6,,,,,2k,,,,}量d(x,y),则为的有界集,且是闭的,但不是紧集. FX 度量空间的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性(X,d) 质.XX,Y定理 1.3.4 设和(Y,)为度量空间,为的紧集,为到的连(X,d)FTT(F)续算子,则是紧集.y,TxT(F)证明设{y}为的任意序列,则有{x},F,使得.由于是紧Fnnnnx,Flimx,x{x}x的. 因此存在,使得,且.因为在点连续,所以T0n00nkk,,klimy,limTx,y,故为紧集. ,T(F)T(F)nn0kk,,,,kkf定理 1.3.5 若为度量空间,为的紧集,为到实数的连续函XX(X,d)FRf数,则一定有界,并且在上达到上、下确界. Xf(F)f(F)证明由上面的定理可知,为实数的紧集,因此有界,故存在M > 0,R |f(x)|,Mf(F)f(F)使得对任意 x,有.由于为实数的紧集,因而包含上确界R f(x),yf(x),yyyx,x,F和下确界,所以存在,使得,.12121122由上面定理可知,若为度量空间, 为紧集,则上每个实值连续函数(X,d)FF都是有界的,但下面的问题又如何呢,X1.3.1 设问题为度量空间,若上的每个实值连续函数都是有界的,则(X,d) X是否一定是紧的呢,XX E. Hewitt 在1948年肯定地回答了上述问题,他证明了是紧的当且仅当上的每个实值连续函数都是有界的.Émile Borel在1895年首先给出并证明了现在的Heine–Borel定理,Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) 和Schoenflies (1900)推广和完善了该定理.nR定理 1.3.6 (Heine–Borel theorem)空间中的子集是紧的当且仅当是有FF 界闭集.证明当是紧集时,明显地是有界闭集. FFnRx,Fd(x,0), 反过来,若是的有界闭集,则存在M > 0,使得对于任意,有 F nn()k21/221/2.故对于中的任意序列, 有,因(|x|),Md(0,x),(|x|),M{x}Fikik,,,1,1ii(k)(k)(k)k而对于每个固定的,有 |对任意成立,由及为有界数{x},Ri{x}x|,Miii(k)列可知它一定有收敛子序列. 对于, 在中一定有收敛的子序列Ri,1{x}1 (k)(k)mm;同样,对于, 在中一定有收敛的子序列,不妨仍记为i,2R{x}{x}12 (k)(k)(k)(k)mmmmn,依照同样的方法,可以找到个子序列,即, ,...,{x}{x}{x}{x}n122n都收敛.由R中度量的定义容易知道的子序列一定收敛,所以,是紧集.{x}{x}Fkkm紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.x,F定义 1.3.4 设为度量空间,,为到的映射,若,使(X,d)F,XTFF0Tx,x得 ,则称为的不动点. xT000先看看下面很有意思的例子.例 1.3.2 若f是到的连续函数,则f在一定有不动点,使得x[0,1][0,1][0,1]0 . f(x),x00实际上,如果f(0),0f(1),1f或,则明显地,在一定有不动点.假如[0,1]f(0),0f(1),1g(x),f(x),xg(0),0和都不成立,那么对于,有,并且g(1),0,有连续函数的中值定理可知，存在,使得,x,(0,1)g(x),f(x),x,00000f所以,在一定有不动点. [0,1]容易知道,是上的闭凸集,将上面的结果推广到上的紧凸集,就得[0,1][0,1]R nR到了Brouwer不动点定理,L. E. J. Brouwer 在1912年证明了欧几里得空间的不动点定理.nn定理 1.3.7 (Brouwer不动点定理) 设为欧几里得空间,为的紧凸集,若RRF Tx,xx,F为到的连续映射,则存在,使得. TFF000x,y,X 设为线性空间,,则是凸集指的是对于任意的,及任意XF,XF,x，(1,,)y,F,有. ,,(0,1)凸集非凸集1922年,G. D.Birkhoff 和O. Kellogg证明在中不动点定理成立. J. Schauder l2在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质,而Tychonoff进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.1.4 完备性与不动点定理在数学分析讨论实数数列的极限时,大家都知道数列是Cauchy列当且仅{x}n当为收敛数列,Cauchy列这一概念亦可推广到度量空间. {x}n,,0X定义 1.4.1 设(X,d)是度量空间,{x}为的序列,若对任意, 存在正nm,n,Nd(x,x),,N整数{x},使得时,有,则称为Cauchy列. mnn明显地,若为度量空间的收敛列,则一定是Cauchy列,但反之{x}(X,d){x}nn不然.d(x,y),|x,y|例1.4.1 设为全体有理数,,则(Q,d)为度量空间,且Q11nn，Cauchy列,但，在度量空间(Q,d)中不是收敛列. {(1)}{(1)}nn定义 1.4.2 若度量空间的每一个Cauchy列都收敛于X中的点,则称 (X,d) 为完备的度量空间. (X,d)完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.例1.4.2 所有实数收敛数列全体c在度量下是一个完备d(x,y),sup|x,y|ii的度量空间.nR例1.4.3 欧几里得空间是完备的度量空间,事实上,如果{x}是Cauchy列,k 则对于每个固定的,由 in(l)(m)(l)(m)21/2 |x,x|,(|x,x|),d(x,x),iiiilm,i1(k)(k)limx,x.xx,(x)可知是中的Cauchy列,因而存在,使得令,{x}Riiiii,,k nlimx,xR则,所以,是完备的度量空间. k,,kc,l,l(1,p,,)常见的序列空间都是完备的度量空间. 01p在数学分析中,大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列满足如下条{[a,b]}nn 件:n,1,2,3,,,,(1) ,; [a,b],[a,b]n，1n，1nn(2) . lim|a,b|,0nnn,,则存在唯一的,使得.lima,limb,,,,[a,b](n,1,2,3,,,,)nnnnn,,n,,在完备的度量空间,有类似的结论.B,{x|d(x,x),r}定理 1.4.1 设是完备的度量空间,, (X,d)nnn,,并且.则必有唯一的.limr,0B,B,,,,,B,B,,,,x,:B12nn，1nn1n,n,,r,,n,N,,0limr,0证明由于,因此对于任意的,存在,使得时,有. Nnnk,,{x}d(x,x),r,,对于,由 ,可知,因而是Cauchy 列.因为m,n,NB,BnmnnmnX是完备的度量空间,所以有,使limx,x. x,Xn,,n,d(x,x),rd(x,x),rnx,:B由,可知对任意成立,因此.nnn，pnnn1n,,,d(y,x),ry,:Blimx,y 假设,则由可知,所以,即,:Bx,ynnn1nn,nn,1,,n中只含有一点.该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0, 则一定有一点,在所有的球里面.X例题 1.4.1 设(X,d)是一个度量空间,若对中任意一列闭球B,{x|d(x,x),r}limr,0B,B,,,,,B,B,,,, 这里,当时,一定有nnnn12nn，1k,, ,唯一的,试证明是完备的度量空间. x,:B(X,d)n1n,1x证明设是的Cauchy列,则对,存在,使得时,有 X,,Nn,Nnkkkkk，12n,n,,,,,n,,,,.不妨把取为. nd(x,x),,12kknnkkk，11y,B令 ,则当时,有 B,{x|d(x,x),}k，1knkk2111 d(y,x),d(y,x)，d(x,x),，,nnnnk，1k，1kkk，1k，1k222因而. B,Bkk，111,由 limr,,0可知存在唯一的,从而d(x,x),,因此x,:Bk1kkk,kkk,,22{x}limx,xlimx,x,由是Cauchy列可知,所以度量空间是完备的.(X,d)nkn,,,,knlimr,0思考题 1.4.1 在上面定理中,若去掉条件,定理是否成立,nk,,x,y,X实际上,设为所有的正整数全体,对任意,定义 X1,1，,当 x,y 时,,,x，y,(x,y), ,,0,当 x,y 时.,,X,则是上的一个度量,容易验证是完备的度量空间.对任意正整数,取n(X,,) 1B,B,,,,,B,B,,,,就有,但B,{x|d(n,x),1，},{n，1,n，2,,,,}12nn，1n2n ,为空集. :Bnn,1思考题 1.4.2 在上面定理中,若去掉度量空间完备的条件,定理是否成立, 一个度量空间如果不是完备的,则用起来比较困难,好在F. Hausdorff早就证明一个度量空间能够,并且只能够按一种方式扩展成一个完备的度量空间.x,f(x)把某些方程写成的形式,把求解问题转化为求算子的不动点,然后利用逐次逼近法来求不动点,是一种很早就使用的方法,牛顿求代数方程的根时用的切线法就是这种方法,后来Picard用逐次逼近来求解常微分方程,S. Banach在1922年用度量空间及压缩算子描述这个方法,这就是Banach不动点定理.定义 1.4.5 设是度量空间,是X到X的算子,若存在实数[0, ,(X,d)T,x,yx,y,X1),使得对一切,,都有d(Tx,Ty),,d(x,y)则称为压缩算子. T例1.4.4 设f为实数上的可微函数,且在上有,则 |f'(x)|,,,1RR,f(y)|,|f'(,)||x,y|,,d(x,y),f为到的压缩算子,d(f(x),f(y)),|f(x)RR xf(x),，1如就是到的压缩算子. RR3ff反过来,若为实数上的可微函数,为到的压缩算子,则一定有RRRx,R|f'(x)|,,,1对所有的.实际上，由于fxxfx,xxx|(，,),()||(，,),|fx|'()|,lim,lim,,,1 ,x,0,x,0xx,,x,R|f'(x)|,,,1因此,对所有的都成立.明显地,若是度量空间的压缩算子,则一定是连续的.事实上,若 (X,d)TTx,xd(Tx,Tx),,d(x,x),0,则,因而是连续的. Tn0n0n0压缩算子最重要的性质是它在完备度量空间的Banach不动点定理.定理 1.4.2 设度量空间是完备的,是压缩算子,则有唯一的不动点,(X,d)TT x即存在唯一的,使得. Tx,x证明在上取一固定的点,令 Xx02nx,Tx,,,,x,Tx,Txx,Tx,Tx,, ,1010210nnn,1则对正整数及,有 p,1d(x,x),d(x,x)，d(x,x) n，pnn，pn，p,1n，p,1n,d(x,x)，d(x,x)，d(x,x) n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，p,2n,,,,,d(x,x)，d(x,x)，,,,，d(x,x) n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，1n1121n，pn，p,n，p,n，p,n，n ,d(Tx,Tx)，d(Tx,Tx)，,,,，d(Tx,Tx)000000 12231n，p,n，p,n，p,n，p,nn, ,,d(Tx,Tx)，,d(Tx,Tx)，,,,，,d(Tx,Tx)000000,,,,12n，p,n，p,n ,,d(Tx,x)，,d(Tx,x)，,,,，,d(Tx,x)000000n,,d(x,x) . 10,,1由可知为Cauchy列,因为是完备的,所以存在,使0,,,1(X,d){x}x,Xnx,Txlimx,xx,Tx.由,可知,因此x为的不动点. Tn，1nn,,nx,yyd(x,y),d(Tx,Ty),,d(x,y) 假设是的另一个不动点,并且,则T,d(x,y)x,矛盾,所以是唯一的不动点. T22容易看出,若是压缩算子,则也是压缩算子.但是压缩算子时,不一定TTTT是压缩算子.n例1.4.5 不是压缩算子时,可能存在,使得是压缩算子.Tn,NTtTx(t),x(u)dux,C[0,1]设是从空间到内的映射,对于,,C[0,1]C[0,1]T,0.这里的度量为. 0,t,1C[0,1]d(x,y),max|x(t),y(t)|明显地,有ttd(Tx,Ty),max|x(u)du,y(u)du|,d(x,y) ,,00令,这里A和B为常数,则 x(t),A,y(t),Bttd(Tx,Ty),max|Adu,Bdu| ,,000,t,1,|A,B|,d(x,y)因此,不存在,使得 ,,[0,1)d(Tx,Ty),,d(x,y)从而不是压缩算子. T对任意,有 x,y,C[0,1]tu22d(Tx,Ty),max|[x(v),y(v)]dvdu| ,,00,t,01t1,max|ud(x,y)du|,d(x,y) . ,00,,1t22T所以,是压缩算子.XXA推论 1.4.1 设(X,d)是完备度量空间,为到的算子,若存在某个正nAn,1整数,使得是压缩算子,则有唯一的不动点. Annnx,y证明若d(Ax,Ay),,d(x,y),对任意的,成立, 则令,x,y,XT,ATx,x由上面定理可知存在唯一的,使得.. x,XTnn，1Tx,x,AxTAx,Ax,Ax假如,则由,及,可知x,Axd(x,Ax),d(Tx,TAx),d(x,Ax),d(x,Ax),yyxx,Ax矛盾,从而,即为的不动点,并且当是的另一个不动点时,一AAx,yx定是的不动点, 因而,所以只有唯一的不动点. ATnxxAn,1 另外, 明显地,若是的不动点,则对于任意正整数,也是的不A00动点.x,2，2，2，x例题 1.4.2 试求方程的根.X,[0,，,),d(x,y),|x,y| 解令,则是完备的度量空间,定义(X,d)T:X,X,Tx,2，x,容易验证1d(Tx,Ty),d(x,y) 2x,2xTx,x因而，存在不动点,使得,并且. 000033x,2T:X,X,Tx,2，2，2，x 明显地, 也是的不动点,0x,2，2，2，xx,2所以,方程有根. 0思考题 1.4.3 在不动点定理中,若条件“度量空间(X,d)完备”去掉,则定理成立否,d(Tx,Ty),思考题 1.4.5 在不动点定理中,若条件“存在 0<1使得 ,,,d(x,y)d(Tx,Ty),d(x,y)对任意都成立”换为“对任意都成立”,则x,yx,y定理成立否,容易找到例子,上面两个问题的答案都是否定的.x,Tx上面在证明不动点定理时,采用进行逐次迭代的方法,这是一种在n，1n 近似计算中很常用并且很有效的方法,利用逐次迭代法,就可以很容易地估计与xn不动点的误差,只须在 x。