第七章习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解不一定。

例如离散空间（X ，d ）。

)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。

因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2.设],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

证明（1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑=d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。

证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使nx x d 1),(10<。

设,0),(110>-=x x d nδ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是开集显然B o n n ⊃⋂∞=1。

若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使nx x d 1),(1<，因此)(∞−→−−→−n x x n 。

因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞=1。

4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明),(1),(),(___y x d y x d y x d +=是X 上的距离。

证明（1）若0),(___=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而tt+1在),[∞o 上是单增函数，于是),(),(1),(),(),(),(1),(),(______z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+==),(),(1),(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++),(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(_____z y d z x d +。

5.证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。

证明若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞∈，即)()(1)()(max 21),()()()()(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞=∑——>0)(∞−→−n 因此对每个r ，)()(1)()(max 21)()()()(0t f t f t f t f r r n r r n bt a r r -+-≤≤∞=∑——>0)(∞−→−n ，这样 bt a ≤≤max )()()()(t f t f r r n -——>0)(∞−→−n ，即)()(t f r n 在[a ，b]上一致收敛于)()(t f r 。

反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使2211ε<∑∞+=o r r r；存在r N ，使当r N n >时，max )()()()(t f t f r r n -00,2,1,0,2r r r =<ε，取N=max{N N N 1}，当n>N 时，)()(1)()(max 21),()()()()(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤≤≤∞=∑ 即),(n f f d ——>0)(∞−→−n 。

6.设],[b a B ⊂，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。

证明记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。

设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。

设B t ∈，则0)(lim )(==∞>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集充分性。

当B 是闭集时，设f ∈A 。

因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f Bt ∈=。

设0)(0>=-δt f a 。

我们证明必有A f U ⊂),(δ。

设),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集必要性。

设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞−→−n ，必有B t ∈0。

倘若B t ___0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。

于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。

定义，n=1，2。

则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n 因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。

但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对任意B t ∈，有a t f n <)(矛盾因此必有B t ∈0。

7.设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。

证明设o F E d >=δ),(。

令}2),(|{},2),(|{δδ====F x d x G E x d x o则,,G F O E ⊂⊂且Φ≠⋂G O ，事实上，若Φ≠⋂G O ，则有Φ≠⋂∈G O z ，所以存在E 中的点x 使2),(δ〈z x d ，F 中点y 使2),(δ〈z y d ，于是δ〈),(),(),(z y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。

8.设B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈B[a ，b]，规定距离为|)()(|sup ),(t g t f g f d bt a -=≤≤。

证明B[a ，b]不是可分空间。

证明对任意∈0t [a ，b]，定义{)},[,2),[,1)(00b t t t a t t f o t ∈∈= 则)(0t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(21=t t f f d 。

倘若B[a ，b]是不可分的，则有可数稠密子集{}n g n ∞=1，对任意∈0t [a ，b]，)21,(0t f U 必有某n g ，即21),(0<t nfg d 。

由于[a ，b]上的点的全体是不可数集。

这样必有某n g ，21,t t ，使n g ∈)21,(1t f U ，n g ∈)21,(2t f U ，于是12121),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分空间。

9.设X 是可分距离空间，ϑ为X 的一个开覆盖，即ϑ是一族开集，使得对每个X x ∈，有ϑ中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从ϑ中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。

证明若X x ∈，必有ϑ∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O nx U ⊂)1,(。

设{}n x n ∞=1是X 的可数稠密子集，于是在)21,(n x U 中必有某)21,(n x U k ，且x k O n x U ⊂)21,(。

事实上，若)21,(n x U y k ∈，则nn n x x d x y d x y d k k 12121),(),(),(=+<+≤所以)21,(n x U y k ∈x O ⊂。

这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21,(n x U x k ∈且存在O n x U k ⊂)21,(任取覆盖)21,(nx U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。

10.X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f Ay ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函数。

证明若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使200)(2),(inf ),(εε+=+<∈x f y x d y x d Ay o 。

取02>=εδ。

则当δ<),(0x x d 时，ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o因此ε<-)()(0x f x f 。

由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。

于是ε<-|)()(|0x f x f 。

这就证明了)(x f 是X 上连续函数。

11.设X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集21,G G 使得221121,,F G F G G G ⊃⊃Θ=⋂。

证明若1F x ∈，则由于2F x ∉，2F 为闭集，必有0>x ε，使Θ=⋂2),(F x U x ε，令)2,(11xF x x UG ε∈= ，类似)2,(22yF x y UG ε∈= ，其中Θ=⋂1),(F y U y ε，显然21,G G 是开集，且2211,F G F G ⊃⊃。