泛函分析复习题20121．在实数轴R 上，令py x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。

解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈∀,,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立即pppz y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤pp p ，所以，1≤p若R 是赋范空间，px x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈∀,， 必须有：||||||||||x k kx ⋅=成立，即ppx k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。

2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，ddd +=12也是使X 成为度量空间。

解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈∀,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d和0),(1),(),(2≥+=y x d y x d y x d且当y x =时0),(=y x d ，于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d以及若0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =，因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),(),(1),(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此}1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤以及设xxx f +=1)(，0)1(1)(2>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以),(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=),(),(1),(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++=),(),(),(1),(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤综上所述)1,m in(1d d =和ddd +=12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

3．设H 是内积空间，H y y x x n n ∈,,,，则当x x n →，y y n →时，),(),(y x y x n n →，即内积关于两变元连续。

解：H 是内积空间，设||||⋅是由其内积导出的范数，由于x x n →，y y n →，所以0>∀ε，0n ∃使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和ε<-||||y y n同时由于y y n →，故知n y 有界，H x ∈所以||||x 有限。

因此可取||)||||,(||sup 1n n y x M ∞≤≤=因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=-|),(||),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y x y x y x y x n n n n n n n -+-=-+-≤εM y y M x x M y y x y x x n n n n n 2||||||||||||||||||||||||≤-+-≤-⋅+⋅-≤故0)},(),(lim{=-∞→y x y x n n n ，即),(),(y x y x n n →4．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则T 不是连续的，当且仅当X x n ∈∃，使得0→n x ，但∞→||||n Tx解：设T 不是连续的，则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的，因此在点00=x 也不是连续的。

则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内均无界，取X O S ⊂=)21,0(1，则T 在1S 上无界，因此11S x ∈∃， 使得1||||1>Tx 成立。

取X O S ⊂=)21,0(22，则T 在2S 上无界，因此22S x ∈∃， 使得2||||2>Tx 成立。

类似地过程一直进行，直到 取X O S n n ⊂=)21,0(，则T 在n S 上无界，因此n n S x ∈∃， 使得n Tx n >||||成立。

因此，X x n ∈∃，使得0→n x ，但∞→||||n Tx另外，如果有X x n ∈，当0→n x ，有∞→||||n Tx由于在Y 上不能找到一点Y y ∈，使得∞=||||Ty ，因此对所有的点Y y ∈，均无法使得∞=||||Ty 成立，因此，在条件0→n x 下，对于所有的点Y y ∈，Ty Tx n →||||均不成立。

所以T 在X 上的0点不是连续的，故T 不是连续的。

5．对于每个有界序列)(n α，定义线性算子pp l l T →:，),,(|),,(221121 x x x x αα→求?||||=T解：由于)(n α有界，所以有0>M ，使得||sup n nM α=对于pl x x x ∈=∀),,(21 ，∞<=∑∞=1||||||i p ip pxx ，从而p n i p ixε<∑∞+=1||∞<=≤=∑∑∞=∞=pp p i p i pi pi i p px M x Mx Tx ||||||||||||11α ||||||||x M Tx ≤，从而M T ≤||||另外，有)(n α有界序列，设||sup n nM α=，则对0>∀ε，有0n ，使得0||0>->εαM n 可取p nn n l snga x∈=),,,0,0(0)(，所以1||||)(=n xp n i p i i p pn x Tx||||||||01)(αα==∑∞=，因此εα-==M Tx n p n ||||||0)(ε->M T ||||，由于ε的任意性，于是有M T ≥||||成立综上所述有||sup ||||n nM T α==6．我们知道有命题：对于算子序列n T ，若0||||→-T T n ，则X x ∈∀，0||||→-Tx x T n 。

此命题的逆命题不成立。

试考虑算子序列22:l l T n →，),0,,,,(),,,,,(21121 n n n n x x x x x x x T =+。

解：2)(l x x n ∈=∀，∞<=∑∞=2112)||(||||n nxx ，所以0)||(212→∑∞=n n nx（∞→0n ）取x Tx =，),,,0,,0,0(21 ++=-n n n x x x T Tx，我们有0)||(||||2112→=-∑∞+=n k kn xTx x T （∞→n ）另外，对每个固定的n ，我们都可以找到一个元素211),0,1,0,,0,0(l e n n ∈=++，有1||||1=+n e ，但111+++=-n n n n e e T Te ，1||||||||111==-+++n n n n e e T Te因此1||||≥-T T n ，n ∀，故0||||→-T T n 不成立。

7．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则)(T G 闭，当且仅当X x n ∈∀，使得0→n x ，y Tx y n n →=时，有0=y 。

解：)(T G 闭，即有X x n ∈∀，0→n x ，则Y T y ∈==∃00，使得0=→=y Tx y n n另外，当X x n ∈∀，0→n x ，使得0→=n n Tx y 因此对于X x n ∈∀，X x x n ∈→，取X x x z n n ∈-=∀， 有0→-=x x z n n ，于是有0)(→-=-=Tx Tx x x T Tz n n n ，即Tx Tx n →， 所以)(T G 闭8．证明1*0l c =，其中*0c f ∈时有序列1)(l n ∈η使得n n n x x f ∑∞==1)(η，0)(c x x n ∈=∀解：0c 是所有极限为0的序列全体的集合，范数||sup ||||i ix x =，在0c 中取基元集},2,1),,0,1,0,,0,0(|{===n e e F nn n则对021),,,,(c x x x x n ∈=∀ ，有i ni i n e x x ∑=∞→=1lim设*0c f ∈，记 ,2,1),(==i e f i i η，所以有ii i i n i i n i n i i n i ni i n i n i i n x x e f x e x f e x f x f ηη∑∑∑∑∑∞==∞→=∞→=∞→=∞→=====11111lim )(lim )(lim )lim ()(取),0,,,,(21)( n i i i n e e e x θθθ---=，其中i i ηθarg =， 则0)(c xn ∈且1||||)(=n x，∑∑==-==ni i i ni i n iexf 11)(||)(ηηθ，所以|||||||||||||)(|||)()(1f x f x f n n ni i≤⋅≤≤∑=η令∞→n ，即得121),,,,(l n ∈= ηηηη，且||||||||||1f i i≤=∑∞=ηη再证反向不等式。

对021),,,,(c x x x x n ∈=∀ ，对每个121),,,,(l n ∈= ηηηη定义ii i x x f η∑∞==1)(，则f 是0c上的线性泛函，且有||||||||||||sup |||)(|11ηηη⋅=⋅≤=∑∑∞=∞=x x x x f i i i ii i i所以*0c f ∈，且||||||||η≤f 。

综合两个不等式得||||||||η=f映射),,,,()),(,),(),((,:21211*0 n n e f e f e f f l c T ηηη=→→使得021),,,,(c x x x x n ∈=∀ ，有ii i x x f η∑∞==1)(成立则T 线性保距同构映射，因此1*0l c =9．设H 是Hilbert 空间，{}n x 是H 中正交集，则以下三条等价； 1）∑∞=1n nx收敛，2）H y ∈∀，),(1y xn n∑∞=收敛，3）21||||∑∞=n n x 收敛解：)2)1⇒，已知∑∞=1n nx收敛，取∑==mn nm xs 1，则m s 收敛，||||m s 收敛于有限数。