(1)
T 't a2T t 0
2V
它的解 为 2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V |R T0 t Aea2 t
再次分离变量,令 V , P ,代入化简得
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
P
"
(
)
1
P
'2V(
x 2
) 2V y 2
12PV
0 "(
)
P
(
)
0
引入由参边数界条件2 P，"P可 知
dr
５.６ 应用举例
例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
分析:由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标.
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 只u 能是 和r
的函t 数.
解 根据问题的要求, 即可归结为求下列定
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2
n m .
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
m0
m
!
1m
nm
1
(
x 2
)n
2
m
称 J n 为x 阶n 第一类贝塞尔函数(n>=0).
取指标
c
n, a0
1
2n n 1
得方程的另一特解
Jn
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
建微立分不同J0阶的5的.第3贝贝2塞k塞尔+尔2函函项数数之的1间递k递1推2推2公k公2式x式(2kk.2 2)!2
由ur,t 的有界性, 可以知道 C2 0 ,
由条件 u r1 0 得 J0 0 , 即 是 J 0 x
的零点. 用 n0( n=1,2…)表示 J0 x 的正零点, 综合以 上结果可得:
0 n
Fn r J0
0 n
r
Tn t Cnea2 n0 t
从而
un
r,t
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
由于 Yn50.4函数, 展由成条贝件塞| P尔(0函) |数的知级D数 0,
从而
题中在，本导章P出开了r 始贝 C，塞J我尔n 们方从程r 薄的圆特盘征温值度问分题布：的定解问
解问题: 设 u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和 无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
1 r
u r
,
0r
1
u t0 1 r 2
u r1 0
由物理意义, u , 且当t 时, u 0
令 ur,t FrT t 代入方程得
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,)为J n x
的正零点,
则有
lim
m
n m1
m n
Jn R 0 的解为
R mn m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
mn
R
r
m 1,2,
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
例
n 为半奇数. J n x可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
2
2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
x2 y2 R2
u 0 x2 y2 R2
令 ux, y,t V x, yT t ， 代入方程得
进而得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
T ' Vxx Vyy
a 2T
V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程: 在极坐标系下，问题可以写成
xJ 'n x nJn x xJ n1x
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x, 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
J n xcosn
sin n
Jn x
当 n 不为整数时, J n x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
24
x4
2!2
26
x6
3!2
1k
x2k
22k k !2
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
J
0x25
x5 2!
J1 3!
x
1k
22k
x2k 1
k ! k
1!
又
d dx
[
xJ1
(
x)]
d dx
x2 2
x4 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
x
x3 22
C e J t a2
n
0
n
0
r 0 n
由叠加原理, 可得原问题的解为
u
r,t
C e J
a2 n0 t
n
0
0 n
r
n1
由初始边界条件得
首先ddx考虑1k零1 2阶2k和2 x一2kk阶2 1贝!塞2 尔 函数1k之2(2间2kk2[关k2系)x12.k!1]2
Jn x
1k
1 x2k1 m m0
22k1k !k 1!
1 2n2m m!
n×1（m－!１x）n2m
分别令n 0 及 n 1得:
J0
所x以 1
x2 22
m
cos x
x
1 d m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
例 求不定积分 xJ2 x.dx
解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x 可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx
x dJ1 x J1 x dx
中,由于m<N时，
N
1
m
1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1 m 1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
xN
2N
N
!
xN 1 2N2 (N 1)!
x N 4 2N4(N
2)!2!
(1)N JN (x)
所以，当n为整数时, J n x 与J n x 线性相关
k)0
(
xk2
n22,)3],ak
x
c
k
0
由选c取akak0z221nkn221aznnka21zkk
ak 2
(
得
0
p
取c=n
e 0
x
x
p1dx
)
n 由mna1 m01 an12(an31)(n 1a) 2k1n0m 1
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
1
m2!nn4 m
P ' "( ) 2 0
P
2 P""Vx2Py2'R2
00
2
P
0
本征值问题
" 0
2
本征值 n n 2，
0
a0 2
本征函数
n an cos n bn sin n ,n 1,2,
将 n n2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n2 P 0
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
不为整数.可以证明 J n x 和 Yn x 线性无关，