模型02 活结与死结(解析版)死结:可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。
“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
活结:可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。
“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。
绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
【典例1】[2017·全国卷Ⅲ]一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)() A．86cm B．92cm C．98cm D．104cm【答案】B【解析】由题可知，挂上钩码后，如图甲所示．此时弹性绳长度为100cm，则θ＝37°，sinθ＝0.6.对结点O 进行受力分析如图乙所示，则由图乙得2Tsinθ＝mg，当将两端缓慢移动至同一点时，由受力分析可得：2T′＝mg，由弹性绳上弹力为F＝kx得出Tx＝T′x′，由题可知x＝100cm－80cm＝20cm，则移动后弹性绳伸长长度为x′＝12cm，那么弹性绳总长度变为L＝L0＋x′＝92cm，B正确．【变式训练1】（2019·天津卷）2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。
为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索（所有钢索均处在同一竖直面内）斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。
下列说法正确的是A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布【答案】C【解析】A、以桥身为研究对象，钢索对桥身的拉力的合力与桥身的重力等大反向，则钢索对索塔的向下的压力数值上等于桥身的重力，增加钢索的数量钢索对索塔的向下的压力数值不变，故A错误；B、由图甲可知，当索塔高度降低后，α变大，cosα变小，故T变大，故B错误C、由B的分析可知，当钢索对称分布时，，钢索对索塔的合力竖直向下，故C正确D、受力分析如图乙，由正弦定理可知，只要，钢索AC、AB的拉力F AC、F AB进行合成，合力竖直向下，钢索不一定要对称分布，故D错误；综上分析：答案为C。
【典例2】（2019·西南名校联盟模拟）两物体M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示，OA、OB与水平面的夹角分别为α、β，已知α<β，M、m均处于静止状态。
则A．水平面一定是粗糙的B．水平面可能是光滑的C ．OA 绳的拉力大于OB 绳的拉力D ．OA 绳的拉力等于OB 绳的拉力【答案】A【解析】对O 点受力分析，由平行四边形定则可知，OA 绳的拉力小于OB 绳的拉力，选项CD 错误；对物体m 而言，因向右的绳的拉力大于向左的绳的拉力，可知m 受到向左的摩擦力，即水平面一定是粗糙的，选项A 正确，B 错误。
【变式训练2】（2019·山东省聊城市高三下学期三模）在港珠澳大桥建设中，将一个根直径22 m ，高40.5 m 的钢筒，打入海底围成人工岛，创造了快速筑岛的世界记录。
钢筒质量为M ，起重机用10根对称分布的、长为22 m 的钢索将其吊起，静止于空中。
则每根钢索受到的拉力大小约为A ．10MgB ．315MgC ．320MgD ．233Mg 【答案】B【解析】由于钢筒的直径为22 m ，钢索的长为22 m ，则每两根钢索与直径构成等边三角形，所以每根钢索与竖直方向的夹角为30；设每根钢索受到的拉力大小为F ，竖直方向根据平衡条件可得，解得：315F Mg ，B 正确。
【典例3】（2019·湖南省长沙市第一中学高三第八次月考）《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV 的高压线上带电作业的过程。
如图所示，绝缘轻绳OD 一端固定在高压线杆塔上的O 点，另一端固定在兜篮上。
另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C 点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。
身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C 点运动到处于O 点正下方E 点的电缆处。
绳OD 一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m ，不计一切阻力，重力加速度大小为g 。
关于王进从C 点运动到E 点的过程中，下列说法正确的是A．工人对绳的拉力一直变大B．绳OD的拉力一直变小C．OD、CD两绳拉力的合力大小等于mgD．当绳CD与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为33 mg【答案】CD【解析】A．对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示，绳OD的拉力为F1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD的拉力为F2，与竖直方向的夹角为α。
根据几何知识知：θ+2α=90°，由正弦定理可得F1增大，F2减小，A错误；B．根据选项A的分析，B错误；C．两绳拉力的合力大小等于mg，C正确；D．α=30°时，θ=30°，可求出23 3F mg，D正确。
【变式训练3a】（2019·河北衡水中学三下学期模考）如图所示，光滑的轻滑轮通过支架固定在天花板上，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接。
在水平拉力F作用下小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动（细绳中张力大小视为不变）。
已知小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为3。
则下列说法正确的是A ．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F 的大小为（2–3）mgB ．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大C ．拉力F 的大小一直增大D ．拉力F 的大小先减小后增大 【答案】AC 【解析】设小球a 的质量为m ，则小球b 的质量为2m ，在缓慢移动的过程中，两小球都处于平衡状态，绳子的拉力，当细绳与细杆的夹角为60°时，对小球a 受力分析如图所示，则在水平方向上有，已知2b a m m =，在竖直方向上有，联立解得，两段绳子的拉力大小不变，但夹角变大，所以合力变小，故支架对轻滑轮的作用力减小，B 错误；绳子与轻杆方向的夹角越来越小，根据，可知N 越来越大，在水平方向上，即摩擦力越来越大，cos T θ⋅越来越大，故拉力F 的大小一直增大，C 正确D错误。
【变式训练3b 】（2019·湖北省武汉市武昌区高三调研考试）如图所示，竖直杆固定在木块C 上，两者总重为20 N ，放在水平地面上。
轻细绳a 连接小球A 和竖直杆顶端，轻细绳b 连接小球A 和B ，小球B 重为10 N 。
当用与水平方向成30°角的恒力F 作用在小球B 上时，A 、B 、C 刚好保持相对静止且一起水平向左做匀速运动，绳a 、b 与竖直方向的夹角分别恒为30°和60°，则下列判断正确的是A ．力F 的大小为10 NB ．地面对C 的支持力大小为40 NC ．地面对C 的摩擦力大小为10 ND ．A 球重为10 N【答案】AD【解析】AD 、以B 为研究对象受力分析，水平方向受力平衡，有：，解得：b T F =，竖直方向受力平衡，则有：，解得：，以A 为研究对象受力分析，竖直方向上有：，水平方向：，联立得：A B m m =，即A 球重为10N ，故AD 正确；BC 、以ABC 整体为研究对象受力分析，水平方向：，竖直方向：，解得：N ＝35N ，故BC 错误。
【典例4】如图所示,小方块代表一些相同质量的钩码,图甲中O 为轻绳之间连接的结点,图乙中光滑的轻质小滑轮跨在轻绳上悬挂钩码,两装置处于静止状态。
现将图甲中右边滑轮的端点B 右移一点,图乙中的端点B 向上移动一点(图乙中的绳长不变),则关于θ角和OB 绳的张力F 的变化,下列说法正确的是( )。
甲 乙A .图甲、乙中的θ角均增大,F 均不变B .图甲、乙中的θ角均不变,F 均不变C .图甲中θ角增大;图乙中θ角不变,张力F 均不变D .图甲中θ角减小,F 不变;图乙中θ角增大,F 减小【答案】B【解析】图甲中,根据钩码个数,O点所受的三个力正好构成直角三角形,若端点B沿虚线右移一点,三力大小不变,根据力的合成法则,可知三力方向不变,即夹角θ不变;图乙中,因滑轮光滑,且绳子中的张力相等,则A、B 两端的力总是相等的,因此合力平分A、B绳的夹角,即使端点B稍上移,绳子张力大小F仍不变,则根据力的合成法则,可知A、B绳夹角不变,则θ角不变,B项正确,A、C、D三项错误。
【变式训练4】(多选)如图所示,质量为M的斜劈放置在水平地面上,细线绕过滑轮O1、O3连接A、B物体,连接A的细线与斜劈平行,滑轮O3由细线固定在竖直墙O处,滑轮O1用轻质杆固定在天花板上,动滑轮O2跨在细线上,其下端悬挂质量为m的物体C,初始整个装置静止,不计细线与滑轮间摩擦,下列说法正确的是()。
A.若增大m,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,细线张力大小不变B.若增大m,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,地面对斜劈的摩擦力变大C.若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,细线与竖直墙夹角变大D.若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,地面对斜劈的摩擦力不变【答案】AD【解析】若增大m,A、斜劈仍静止,先对物体B分析,受重力和拉力而平衡,说明细线的拉力大小保持不变;再对A和斜劈整体分析,受重力、支持力、拉力和摩擦力,根据平衡条件可知,摩擦力等于拉力的水平分力,由于拉力不变,故地面对斜劈的摩擦力不变,A项正确,B项错误。
若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,细线的拉力依然等于物体B的重力,大小不变;先分析C,由于重力不变,两个拉力的大小也不变,故根据平衡条件可知,两个拉力的方向不变;再分析滑轮O3,受三个拉力,由于两个拉力的大小和方向不变,故根据平衡条件可知,第三个拉力的方向也不变,细线与竖直墙的夹角不变,故C项错误。
最后分析A和斜劈整体,受重力、支持力、拉力和摩擦力,根据平衡条件可知,摩擦力等于拉力的水平分力,由于拉力不变,故地面对斜劈的摩擦力不变,D项正确。
【典例5】(多选)如图所示,A、B都是重物,A被绕过小滑轮P的细线所悬挂,B放在粗糙的水平桌面上;小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点;O'是三根细线的结点,bO'水平拉着重物B,cO'沿竖直方向拉着弹簧;弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略,整个装置处于静止状态,g=10 m/s2。