圆系方程
例 题
圆系方程
1、求过圆 C 1 : x 2 y 2 2 x 3 0, C2 : x 2 y2 4x 2 y 3 0 的交点，且过原点的圆 的方程
过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
证明：方程 3 x 2 10 xy 3 y 2 9 x 5 y 12 0 表示的曲线是两条直线
直线系方程
例3、问k为何值时，方程 3 x 2 2 xy y 2 7 x 5 y k 0 表示两条直线?
解（待定系数法）：将方程化作：
(3 x y )( x y ) (7 x 5 y ) k 0 设： ( 3 x y m )( x y n) 0
2
2
x 2 y 2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
圆系的定义： 具有某种共同性质的圆 的集合，称为圆系。
圆系方程
常见的圆系方程：
1、同心圆系( x a)2 ( y b)2 r 2 (a, b是常数， r是参数 )
2、过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
解得： k
1 2
由已知：
1 3 1 2 4
11
故所求得方程是： 4 x
3y 6 0
练习1
直线系方程
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
新 课
圆系方程
常见的圆系方程：
3、过直线与圆的交点的 圆系方程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x 2 y 2 Dx Ey F 0
直线系方程
直线系方程的定义
它的方程叫直线系方程。 共同性质如： 平行于已知直线的直线系方程； 垂直于已知直线的直线系方程； 过定点的直线系方程
具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系。
直线系方程的种类:
1、与直线 l：Ax By C 0平行的 直线系方程为Ax By C1 0
已知圆： ( x 1) 2 ( y 1) 2 1, 直线：kx y 2k 1 0 则直线与圆公共点的个 数 A、 1个 B、 2个 C、 1个或2个 D、 0个1个或2个
直线系方程
例2、求过两直线x 2 y 4 0, x y 2 0 的交点且满足下列条件 的直线l的方程： (1)过点P ( 2,1)； ( 2)和直线3 x 4 y 5 0垂直
该方程表示过 l1 : x 2 y 1 0 和l2 : x y 1 0交点的直线。
(3, 2) 解方程组，得交点：
故无论m取何值，直线恒过定点 (3, 2)
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m) x (2 m) y (1 m) 0 ， 分析: 从特殊到一般 法二 先由其中的两条特殊直线，求出交点 再证明其余直线均过此交点 解: 分别令 m 1, m 2 代入方程，得 x 3 y 2 3(1 m) (2)(2 m) (1 m) 0 恒成立 又因为： 故无论m取何值，直线恒过定点 (3, 2)
3.过两直线 2 x y 8 0和x 2 y 1 0的交点, 且平行于直线 4 x - 3 y 7 0的直线是: 4x-3y-6=0 ____
4.过两直线y 2 x 3和3 x y 2 0的交点, 且垂直于第一条直线的 直线方程是: x+2y-11=0 ____
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2 y 4 ( x y 2) 0
把（2，1）代入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
4
所以直线的方程为： x 2 y 4 0
直线系方程
例2、求过两直线x 2 y 4 0, x y 2 0 的交点且满足下列条件 的直线l的方程： (1)过点P ( 2,1)； ( 2)和直线3 x 4 y 5 0垂直
例 题
圆系方程
2、已知圆C 的半径为 17，圆心 在直线 x y 2 0 上，且过 点 ( 2,1) ，求圆 C 的方程
例 题
圆系方程
3、已知圆C 在 x 轴上的两个截 距分别为 a , b，在 y 轴上的 一个截距为 c(c 0)，试求 圆 C 的方程
例 题
圆系方程
4、若圆 C 1 与圆 C 2 交于点 A, B， 圆 C 2 与圆 C 3 交于点 C , D， 圆 C 3 与圆 C 1 交于点 E , F， 求证：直线 AB , CD , EF 三线共点
例 题
圆系方程
5、求过点 A(2,1)，B(3,3)，C (2,4) 的圆的方程
变式、求过点A(1,2), B( 3,4)，且 在 x 轴上截得的弦长为 2 的圆的方程
直线系方程 若直线l1 : A1 x B1 y C1 0与直线l 2 : A2 x B2 y C 2 0
例 题
引例1、已知圆 C1 : x 2 y 3 0交于A、B 两点，求A、B坐标 引例2、已知圆 C1 : x 2 y 2 2 x 3 0, C 2 : x 2 y 2 4 x 2 y 3 0交于A、B 两点，求A、B所在直线方程
直线系方程
两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程， 如：l 1 : x 2 y 1 0, l 2 : x y 0, 相乘后就得， x 2 xy 2 y 2 x y 0 反过来，如果已知一个二元二次方程是由两条直线 的方程相乘所得，我们也可以先设出这两条直线的 方程，再用待定系数法求出它们。 请看下面的例子：
1.过两直线x 2 y 3 0和x 2 y 9 0的交点 y=x 和原点的直线方程是 : ______ 2.过两直线2 x 3 y 10 0和3 x 4 y 2 0的交点, 2x+3y-2=0 且垂直于直线 3 x 2 y 4 0的直线是: ______
例 题
2 2
圆系方程
1、求过圆 C 1 : x y 2 x 3 0, C2 : x y 4x 2 y 3 0
2 2
的交点，且过原点的圆 的方程
变式2、求过圆C 1 , C 2 的交点， 且面积最小的圆的方程
2、 已 知 圆 C1 : x y 2mx 4 y m 5 0
y
直线系方程
(其中C C1，C1为待定系数 )
o x
直线系方程的种类:
2、与直线 l：Ax By C 0垂直的 直线系方程为Bx Ay C 2 0
y
直线系方程
(其中C 2为待定系数 )
o
x
直线系方程的种类:
3、过定点 P ( x0 , y0 )的直线系方程为
直线系方程
例 题
2
直线（圆）与圆的位置关系
2
5、 圆( x 3) ( y 3) 9 上 到 直 线 3 x 4 y 11 0 的 距 离 等 于1的 点 有 个
6、 已 知 圆 C : ( x 4) y 4 和
2 2
点 A( 2 3 ,0)， 圆 D 的 圆 心 在 y 轴上移动，且恒与圆 C 外切， 设 圆D 与 y 轴 交 于 点 M , N， 求证： MAN 为 定 值
则
(3 x y )( x y ) x(m 3n) y(m n) mn 0
m 2 解得： n 3 k mn 6
m 3n 7 所以： m n 5 mn k
即：k= -6 时方程表示两条直线。
圆系方程
求当m在实数范围内变化时,原点到直线l的距离的最大值。 解: 由第1题，知直线过定点 (3, 2)
由图可知，当l OP时，原点到直线l的距离最大。 原点到直线的最大距离 d 13
3.已知直线l :(1 m) x (2 m) y (1 m) 0 ，
求证l与圆： ( x 2)2 ( y 3)2 25总有两个公共点
求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
过定点的直线系方程
如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线
2 2 l2 : A2 x B2 y C2 0 ( A2 B2 0) 相交，则过该交点的
圆系方程
C2 : x y 4 x 2 y 3 0 的交点，且过原点的圆 的方程
变式2、求过直线2 x y 4 0 与 圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的交点且面积最小的圆 的方程
过直线与圆的交点的圆 系方程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x 2 y 2 Dx Ey F 0
2 2 2
和 圆C 2 : x 2 y 2 2 x 2my m 2 3 0 ， 当m 为何值时， (1) 圆 C1 与 圆C 2 相 外 切( 2)圆 C1、 圆C 2 内 含 ( 3)有 公 共 点
例 题
2 2
直线（圆）与圆的位置关系
4、 设 圆 x y 4 x 6 y 12 0 的 圆 心 为A，P 是 直 线 y 2 x 1 上的一点，从 P 向圆A作两切线 切 点 为B、C， 若 四 边 形ABPC 的 面积最小，求 P 点坐标