直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ（Ax ＋By ＋C ）＝0。

例4：求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x+2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：2+50x y -=的例6：求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆01y 4x 2y x =+-++的交点，且过原点的圆方程。

例7：已知圆O ：C 、例8：求过点(14)P -，圆例9：平面上有两个圆，它们的方程分别是x +y =16和x +y －6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。

解：∵x 2+y 2－6x+8y+24=0⇒(x －3)2+(y+4)2=1∴这两圆是外切∴(x 2+y 2－6x+8y+24)－(x 2+y 2－16)=0⇒3x －4y －20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x －4y －20=0例10：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，1.求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.2.求过两直线x -2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L 的方程.(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直.3.过点P （3，1）作曲线C ：x 2+y 2﹣2x=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．2x+y ﹣3=0B ．2x ﹣y ﹣3=0C ．4x ﹣y ﹣3=0D ．4x+y ﹣3=04.对于任意实数λ，曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0恒过定点5.求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝0和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝0交点和坐标原点的圆的方程．6.求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程..)0,2(),3,1(02024.722的圆的方程且过切于求与圆B A y x y x --=---+8.求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。

9.求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆Ｃ：22y x ＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得圆C 与直线x+y+a =0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．11.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.12.已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣2y+a =0，直线l ：x ﹣y ﹣3=0，点O 为坐标原点．（1）求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求实数a 的值．13.已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线x=8上，过P 点引圆C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试问，直线AB 是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．1.⎪⎭⎫ ⎝⎛25,27 2.（1）x+2y-4=0，（2）4x+3y-6=0；3.解：方程x 2+y 2﹣2x=0①可化为（x ﹣1）2+y 2=1，即曲线C 是一个圆，记圆心为C ．因为PA ，PB 分别切圆C 于A ，B ，所以P ，A ，B ，C 四点在以PC 为直径的圆即x 2+y 2﹣4x ﹣y+3=0②上，两圆公共弦所在直线即为所求，由①﹣②，得直线AB 的方程为2x+y ﹣3=0．故选：A ．4.解：曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0可化为（x 2+y 2+6x ﹣16）+λ（x 2+y 2﹣4x ﹣6）=0，∴x 2+y 2+6x ﹣16=0且x 2+y 2﹣4x ﹣6=0，可得恒过定点．故答案为：．5.解：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋λ＝０．从而λ＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即2277y x +＋7x ＋y ＝０。

6.解:构造方程x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即.7,041313-==-+++-λλλλ得∴所求圆方程为x 2+y 2-x+7y -32=0.02018477,78)0,2(0)1543(202401543)3,1(.72222=-+-+==+++---+=++--y x y x y x y x y x y x A 所以所求圆方程为得，代入。

与已知圆构造圆系的圆的切线为解：过λλ8.解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。

即22110λλ--+=，则114λ=-代回圆系方程得所求圆方程22111179(()448x y -+-=9.解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝0即22y x +＋yx )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝0则[]5458(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０10.解：（Ⅰ）设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C 的方程为x 2+y 2﹣6x+8y+7=0．（Ⅱ）过直线+0x y a +=与圆226870x y x y +-++=的交点的圆系方程为：22687()0x y x y x y a λ+-+++++=，即22(6)(8)7+0x y x y a λλλ++-+++=①依题意，O 在以AB 为直径的圆上，则圆心68(,)22λλ-+--显然在直线0x y a ++=上，则68022a λλ-+--+=，解之可得+1a λ=，又(0,0)O 满足方程①，07=+a λ，故072=+-a a 无解，故不存在a ，使得OA ⊥OB 。

【参考答案】11.解：（1）证明：l 的方程可化为（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－12，∴l 的方程为2x －y －5=0.12.解：（1）由题意得，C （﹣2，1），k l =1，由m ⊥l 得，k m •k l =﹣1，∴k m =﹣1．∵直线过圆心（﹣2，1），∴直线m 的方程为x+y+1=0．（2）过直线30x y --=与圆22420x y x y a ++-+=的交点的圆系方程为：2242(3)0x y x y a x y λ++-++--=，即22(4)(2)30x y x y a λλλ+++-++-=①依题意，O 在以MN 为直径的圆上，则圆心4+2(,)22λλ+-显然在直线30x y --=上，则423022λλ++---=，解之可得6λ=-，又(0,0)O 满足方程①，则30a λ-=，故18a =-。