2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为
N Nv Nβ R3。式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
4 n1 K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
U0 。若原子间互作用能由式 ur

α rn

β rm
表述，试证明晶
体的体积弹性模量为
K

U0

mn 9V0

。
证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为
UR

1 2

i

j
u
rij
j


1 αj

马德隆常数
1 21 1 1 1 2ln2 j αj 2 3 4
2.3
设两原子间的互作用能可由 ur


表述。
rm rn
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常
数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R0
e



nB αe2
1
n1
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
（1）
U R0


U e


N αe2 R0
1

1 n

（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
R0
2e

nB
α2e2
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N 2

αAm R0m

βAn R0n


U0
由平衡条件
dU R
0 dR R0
得
N 2

m α Am R0m1

n β An R0n

U0
由（1）、（2）两式可解得
αAm

N
2U0
m
n
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平
均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数，V 表示晶体
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
V N V N nv N nβ R3
于是得
V
β nR3
1
n1

41
n1 R0
e
U 2e


4N α e2
R0 2e
1
1 n


4n
n1U e
体积弹性模量可按下式求出
K
e



n 1αe2 18R04 e
K 2e
n 1α2e2 18R04 2e
n3
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为
UR
N 2

j
u
rij
设最近临原子间的距离为R，则有
再令
rij a j R
Am


j
1
a
m j
, An


j
1
a
n j
得到
U

N 2

αAm Rm

βAn Rn

第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
u0


j


zoz je2 roj

U

N 2

j


zoz je2 roj


N 2R

j


zoz j αj


N 2R
zoz j

证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应
于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r r0 时，
ur 0
r r0
且


2 ur
r


r0

0
因为 解之有
ur

α rm

β rn
ur
r r0
m
α r0m1
8
a3
氯化钠结构
8
a3
a
1

2 2
a
0.71

3 2
a
0.77

3 4
a
1.54
1 a 1
2
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
数 μ 2ln2 。
证明：
C B A O A B C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
UR

N

αe2 R

B Rn

试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体
积弹性模量将受何影响？
解： 按题给
UR
N
αe2 R

B Rn

由平衡条件
U R R0

N

αe2 R02

nB R0n1


0
β n r0n1
0
r0


n m
β α
1
nm
（1）
因而
ur0

α rm

β r0n


α r0m
1
m n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
于是


2ur
r 2


r0


mm 1α
r0m 2

nn 1β
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的 值。所得结果列表如下：
晶格(a)
晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常
（V ） 子数（n） 短距离 数（ β）
简单立方 面心立方
a3
1
4
a3
体心立方
2
a3
金刚石结构

nn
R0n
1
N2Um0 mRn0n
r0n 2
0
nn 1β mm 1α
r mn 0

1
把（1）式代入，即得
nn 1β mm 1α

nβ mα
1

1
所以
n 1 1,n m
m1
这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原
子间的距离的变化更陡峭。
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
nR0m
βAn

N
2U0
m
n
m
R0n
利用体积弹性模量公式
得
K

R02 9V0

2U R 2
R0
K
1 9V0
N 2

mm
1αAm
R0m

nn
1βAn
R0n

1 9V0
N 2

mm
R0m
1
2U0 nR0m
N m n