第1振型
第2振型
11
2 （2’）求频率 (k1 k2 2m1 )( k2 2m2 ) k2 0
若有 m1 nm2
2 [( n 1)k2 2 nm2 ]( k2 2 m2 ) k2 0
k1 n k 2
（3’）求主振型 Y21 k12 1 1 1 : n 2 4 Y11 k 22 12 m2
2 (k1 k2 2m1 )( k2 2m2 ) k2 0 k k 2 2 若有 m1 m2 m 1 0.38197 2 2.61803 m m k k k
1 2
1 0.61803
（3）求主振型
k m
2 1.61803
k m
Y11 k12 1 : Y21 k11 12m1
y1 (t ) Y11 Y12 1 2 y A sin( t ) A sin( t ) Y Y 1 1 1 1 2 2 2 2 y2 (t ) Y21 Y22
1 1 4 1 k2 ( 2 ) 2 2 n n n m2
上式分别乘以ω12、ω22，则得：
第一正交关系
(m112Y11 )Y12 (m212Y21 )Y22 0
2 2 (m12 Y12 )Y11 (m22 Y22 )Y21 0
Yij的第一个下标代表质点，第二个下标表示振型。 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量 不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。

k12 y1 (t) m1 y1 k 22 y 2 (t) m 2 y2
k12 m1 y1 k 22 m 2 y2
K
1
1 K
k 22 -k 21
-k12 k11
§15-4 两个自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系自由振动微分方程 m2 m1
y2(t)
m2 y2
F2P F1P
y2(t)
K2
k21
1
k22
k12
y1(t)
m1 y1
y1(t)
K1
k11
1
杆件的位移法 基本方程为：
k11 y1 k12 y2 F1P 0 k y k y m y ( t ) 11 1 12 2 1 1 或： k21 y1 k22 y2 m2 y 2 (t ) k21 y1 k22 y2 F2 P 0 对质点是惯性力与弹性力平衡； 1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 对杆件是由质点位移与惯性力引
2 ，则存在：
Y11
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0(15.51)
m1 Y21 0
0 Y12 Y 0 m2 22
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。
8
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0(15.51)
两个自由度体系自由振动的振型分解
4
二、 柔度法 m2
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t)
2 m2 y 1 m1 y
m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
m1
y1(t)
1 (t )11 m2 2 (t )12 y1 (t ) m1 y y
当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全 为零的解，令
D
11m1
1

2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 ( 11m1 22m2 ) ( 11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1
2
1 ( 11m1 22m2 ) ( 11m1 22m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2


1
1
1
2
1
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12
Y12 12m2 1 Y22 11m1 2
主振型
Y11 12m2 1 Y21 11m1 2
2 Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22
K
1
K
1
K I
7
三、主振型及主振型的正交性
惯性力 幅值
m1Y11
2 1
12 m2Y21
m2
Y21 位移
幅值
2 2 m1Y12
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12 Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22
1 2
6

柔度法与刚度法自由振动微分方程的比较及系数间的关系：
1 (t )11 m2 2 (t )12 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y2 (t ) m1 y y
y1 y1 (t) 11 12 m1 y (t) m y 2 21 22 2 2
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例1：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。
m2
k21 k2
k11 k1 k2
1
1
k22 k2 k12 k2
k2
m1
k1
解：（1）求频率方程中的刚度系数 k11= k1+k2
k12=k21=－k2
k22 = k2
可能振动形式中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。
由此可见：
多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不 3 变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。
（2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；
实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。
2 m1Y1 k11Y1 k12Y2 0 2 m2Y2 k21Y1 k22Y2 0
1.618
0.618
k 1 2k 0.38197 k 1.618
1.0
1.0
Y12 k 1 2 : Y22 2k 2.61803 k 0.618
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 m2 y
2
y (t ) 0
10
（2）求频率
k11=k1+k2
k12=k21=-k2
k22=k2
2 2 ( k m )( k m2 ) k12k21 0 代公式 11 1 22
1 k11 k22 k11k22 k12k21 1 k11 k22 2 m1 m2 m1m2 2 m1 m2
2 2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率1， 2 称为第二圆频率 （1）主振型 (k 2m )Y k Y 0 m Y
y1 (t) k11 由刚度法方程有： y 2 (t) k 21
k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) m1 y1 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) m2 y2 (t )
k11 k 21
1
2
2 m1Y1
m2Y2
2
Y1 ( 2m1Y1 )11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1 ) 21 ( 2m2Y2 ) 22

位移是由惯性力引起的。位移 幅值是由惯性力幅值引起的。
5
m2Y2
2
m2 m1
Y2
m1Y1
2
Y1
) Y m Y 0 1 12 2 2 2 1 21m1Y1 ( 22m2 2 )Y2 0 ( 11m1 1
y1 (t ) Y1 =常数 y2 (t ) Y2
1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；
2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。
（2）频率方程(特征方程)与自振频率(固有频率)
2 ( k m1 )Y1 k12Y2 0 2 m1Y1 k11Y1 k12Y2 0 11 或： 2 2 k 21Y1 ( k 22 m2 )Y2 0 m2Y2 k21Y1 k22Y2 0
当然 =Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令：
D
( k11 2 m1 ) k21
k12 ( k22 m2 )
2
0
特征方程
频率方程
2
(k11 2m1 )( k22 2m2 ) k12k21 0
(k11 2m1 )( k22 2m2 ) k12k21 0
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 m2 y
设解为 y1 (t ) Y1 sin(t ) y2 (t ) Y2 sin(t )
2
y (t ) 0