2017清华大学4.29标准学术能力测试题1、129a a a ,,,是数字1到9的一个排列，则123456789a a a a a a a a a ++的最小值为（ ）A ．213B ．214C ．215D ．216【答案】B 分析：129,9!a a a =三元均值10⎧⎨⎩离散的数靠近之值【解析】设123456789=a a a a a a a a a M ++则由三元均值32939!370M a ≥=≈⨯39!6!78972078949007070=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≈⨯≈由题可知981752643727072214⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=另一方面由均值213M >=>=由此，M 的最小值为214.2、设()100822201601220161x x a a x a x a x -+=++++，则0122016232017a a a a ++++的值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 【答案】B 分析：12⎧⎨⎩看系数赋值【解析】解法1：两边同乘x ，有()10082220170120161x x x a x a x a x -+=+++两边求导，得()()100722016012016100812122017x x x x aa x a x -+-=+++令1x =，得012016220171009a a a +++=解法2：令1x =，可得0120161a a a +++=对题中等式，两边求导，得20152112016220161008(1)a a x a x x x +++=-+令1x =，得112016220161008a a a +++=因此所求值为1009。
3、集合{}1225S =,,,，A S ⊆，且A 的所有子集中元素之和不同，则下列选项正确的有（ ） A ．max 6A =B ．max 7A =C ．若{}12345A a a a a a =,,,,，则51132i i a =<∑ D ．若{}12345A a a a a a =,,,,，则5112i ia =<∑4、过椭圆22143x y +=的右焦点2F 作一条直线交椭圆于A ，B ，则1F AB ∆的内切圆面积可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A分析：1F AB △周长C 为定值48a =，1182ABF S C =⋅⋅△焦点弦长公式。
焦半径，在12AF F △中21AF F θ=∠121222F F cAF AF c =⎧⎨+=⎩设2AF x =，则由余弦定理()()2222222cos a x x c x c θ-=+-所以2cos b x a c θ=-由焦点弦2222||sin ab AB b c θ=+⋅。
【解析】设直线AB 的倾斜角为θ，则222222||sin 3sin ab l AB l C θθ==++ 因此1121sin 2ABF S AB F F θ=⋅⋅△ 因此，设内切圆半径为r ，则1122sin 8ABF S AB F F Cθ⋅⋅==△Γ因此，内切圆面积为22122sin 3sin 83sin AB F F S θθππθ⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭求得S 的范围为50,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、{}n a ，{}n b 均为等差数列，已知11135a b =，22304a b =，33529a b =，则下列是{}n n a b 中的项的有（ ）A ．810B ．1147C ．1540D ．3672 【答案】A,B,C,D【解析】由题可得：()()222n n a b a n b n c =-+-+将112233135,304,529a b a b a b ===带入得135304529a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得28197304a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；则22228197304n n a b n n ++=++、6、已知函数ty x x=+，过()10P ,作切线交函数图象于点M 和点N ，记()MN g t =，则下列说法中正确的有（ ）A ．14t =时，PM PN ⊥ B ．()g t 在定义域内单调递增 C ．12t =时，M ，N 和()01,共线 D ．()16g =【答案】C分析：共求切点弦。
引理：切点弦定理()22,G x y Ax Bxy Cy Px Ey F =+++++，过曲线(),0G x y =外一点()00,P x y 引曲线的切线，切点为12P P ，则弦12P P 就为点P 。
关于曲线(),0G x y =的切点弦，则对应的直线为(),0G x y =。
其中()000000,222x y xy x x y yG x y Ax x BCy yP E F ++=+++++ 【解析】题中曲线即2:0H x xy t -+=，由引理知10:102y xMN x t •+••-+=，即:220MN x y t -+=已知MN 与H ，得220x xt t +-=，得()||g t MN ==()g t =。
当14t =时，12554PM PN x x •=+7、已知数列{}n x ，其中1x a =，2x b =，11n n n x x x +-=+（a ，b 是正整数），若2008为数列中的某一项，则a b +可能的取值有（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．118、投掷一枚均匀的骰子六次，存在k 使得1到k 次的点数之和为6的概率是p ，则p 的取值范围是（ ）A ．00.25p <<B ．0.250.5p <<C ．0.50.75p <<D ．0.751p <<9、在ABC ∆中，2AB =，3AC =，4BC =，O 为三角形的内心，若AO AB BC λμ=+，则36λμ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次，则第四次球传回甲的概率是（ ） A ．727 B ．527 C ．78D ．216411、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e 的取值范围为，直线1y z =-+交椭圆于M 和N ，且OM ON ⊥，则椭圆长轴的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12、在直角ABC ∆中，以直角边AB ，斜边BC 为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形ABDE 和BCFG ，则向量GA 和DC 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒13、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，底面中心为O ，11A D ，1CC 的中点分别为M ，N ，则三棱锥1O MB N -的体积为（ ）A ．724B ．748C ．524D ．54814、已知a ，b ，c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值为（ ） A ．4748B ．1C ．3536D ．34【答案】A 分析：333a b c b cb c a a a+→=++ 【解析】设代数式为m ，令3,84,32b c x c c y a b z +=+=+=则111386331216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩。
于是61934748921642648y x y z x z m x y z y z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭等号当且反当1:2:3x y z =⋅=即::10:21:1a b c =时取15、在ABC ∆中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，A ∠的角平分线长度为2，CH AB ⊥于H ，则下列正确的是（ ） A．CH = B．1AB = C．BC = D ．3ABC S ∆=16、已知实数02x π⎛⎫∈,⎪⎝⎭，则下列方程有解的是（ ） A ．()()cos cos sin sin x x = B ．()()sin cos cos sin x x = C ．()()tan tan sin sin x x = D ．()()tan sin sin tan x x =【答案】C分析：A,B 化同名（诱导公式）【解析】对于A cos(cos )sin(cos )sin(sin )2x x x π=->对于B sin(cos )cos(cos )cos(sin )2x x x π=-<对于C 令1arctan x π=，则11tan(tan )sin(sin )0x x -< 令24arctan3x π=则22tan(tan )sin(sin )10x x ->> 对于D ()()tan(sin )sin(tan )f x x g x x ==↗ 作差，()()()()()tan sin sin tan h x f x g x x x =-=-则()()()()322222cos tan cos cos cos(tan )cos (sin )cos sin cos cos sin cos x xx x x h x x x x x-'=-= 情况一：当0,arctan2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin ,tan 0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由均值及钦森cos(tan )2cos(sin )tan 2sin cos33x x x x++≤≤ 设函数()tan 2sin 3P x x x x =+-，求导()212cos 3cos P x x x'+- 因此()()()0x x >=φφ，即tan 2sin 3x xx +<带入()00h =，即题成立 情况二，成立17、已知01x <<，则下列正确的是（ ）A ．222sin sin sin x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．222sin sin sin x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ C ．222sin sin sin x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D ．222sin sin sin x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭18、已知1sin 2x i α=+，21cos x i α=+，则2121213z ix z iz -+-的最小值是（ ）A ．12B ．2C ．43D ．3219、在空间中过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()x B f A =，设α，β是两个不同的平面，对空间中的任意一点P ，()1Q f f P βα=⎡⎤⎣⎦，()2Q f f P αβ⎡⎤=⎣⎦，且有12PQ PQ =，则（ ）A ．αβ⊥B ．αβ∥C ．α与β的（锐）二面角为45︒D ．α与β的（锐）二面角为60︒20、某校共2017名学生，其中每名学生至少要选A ，B 中的一门课，也有些学生选了两门课，已知选修A 的人数占全校人数介于70%到75%之间，选B 的人数占40%到45%之间，则下列正确的是（ ）A ．同时选A ，B 的可能有200人 B ．同时选A ，B 的可能有300人C ．同时选A ，B 的可能有400人D ．同时选A ，B 的可能有500人21、已知D ，E 是Rt ABC ∆斜边BC 上的三等分点，设AD a =，AE b =，则实数对()a b ,可以是（ ） A ．()11, B ．()12, C ．()23, D ．()34,22、已知函数()22f x x x =+，若存在实数t ，当[)1x m ∈,时，有()3f x t x +≤恒成立，则实数m 可以等于（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．1223、设R x y ,∈，函数()22214672f x y x y xy x y ,=+6---+的值域为M ，则（ ）A ．1M ∈B ．2M ∈C ．3M ∈D ．4M ∈【答案】C,D 分析：拉格朗日【解析】()()22,276672f x y x y x y y ⎡⎤=-+•+-+⎣⎦()()222776672x y y y y =---++-+ ()()2275233x y y =--+-+≥24、若N 的三个子集A ，B ，C 满足1AB BC C A ===，且A B C =∅，则称()A B C ,,为N 的“有序子集列”，现有{}123456N =,,,,,，则N 有（ ）个有序子集列．A ．540B ．1280C ．3240D ．7680。