高考仿真模拟冲刺考试（三）数学理满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P kn kkn n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．1 2．下列有关命题的叙述错误的是（ ）A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件C ．命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0”D ．“x ＞2”是“211<x ”的充分不必要条件3．设集合{}{}|,|5,,A x x k N B x x x Q ==∈=≤∈则B 等于（ ）A ．{1, 2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}4．在样本的频率分布直方图中，一共有)3(≥m m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的41，且样本容量为100，则第3组的频数是 （ ）A ．10B ．25C ．20D ．405．如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为 （ ）A ．19B ．31C ．1D ．36．已知()()()2,log 0,1x a fx a g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是 （ ）7．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有/()()f x f x >，则有（ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -<>8．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2= C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（ ）A ．192B ．144C ．288D ．24010．如果函数2()ln(1)a f x xb =-+的图象在1x =处的切线l 过点1(0,)b-，并且l 与圆C ：221x y +=相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上） 11．等差数列{a n }中，a 4+ a 10+ a 16=30，则a 18-2a 14的值为 ．12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．13．二项式（1+sinx ）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 14．直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；15．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称；② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（Ⅰ）平面//EFG 平面ABC ;（Ⅱ）SA BC ⊥.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =． （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:（Ⅰ）对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; （Ⅱ）对任意np N ∈,由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<已知函数()f x=lnx-ax-3（a≠0）．（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1,2]，函数23()[2()]2xg x x m f x'=+-在区间（a,3）上有最值，求实数m的取值范围．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D （Ⅰ）求椭圆1C 的方程;（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.理科数学（三）18．解：（Ⅰ）()31f x x =为奇函数；()25xf x =为偶函数；()32f x =为偶函数；()42121x x f x -=+为奇函数；()5sin()2f x x π=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数.所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数， 一个为偶函数;故基本事件总数为112333C C C + .满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为23C故所求概率为2311233314C P C C C ==+,（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． 103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；故ξ的分布列为.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ∴ξ的数学期望为.4719．(Ⅰ) 224232224321)(0n x x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x x nn n n n n n n p n n)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f p n pn n p n n p n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n np n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x n x x x x x x x x x x pn pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ n x x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 20．（Ⅰ）1(0,),()ax f x x-'+∞=定义域，110,(0,)()0;(,),()0,a x f x x f x a a''>∈>∈+∞<当时时时0,(0,),()0a x f x '<∈+∞>当时时，110,()(0,),(,);a f x a a>+∞所以当时的单调增区间为减区间为0,()(0,),.a f x <+∞当时的单增区间为无减区间（Ⅱ）322()(),()3(2)12mg x x a x x g x x m a x '=++-=++-， ()(,3),()(,3),(0)10g x a g x a g '∴=-< 函数在区间上有最值函数在区间上不单调，2()03(2)10[1,2],(3)036260g a a m a a a g m a '<⎧++-<⎧∴∈⎨⎨'>++>⎩⎩即对任意的恒成立 153219[1,2],3236260m aa m am a ⎧<-⎪∈-<<-⎨⎪++>⎩即对任意的恒成立得。