二次函数与四边形一.二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交A B两点(A点在B点左侧)，直线I与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A C F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.练习1.(河南省实验区)23 •如图，对称轴为直线x 7的抛物线经过点2A (6, 0)和B ( 0, 4).(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；x(2) 设点E ( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以OA为对角线的平行四边形•求平行四边形系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF勺面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E O 的坐标；若不存在，请说明理由. B(0,4)A(6,0)OEAF OEAF的面积S与x之间的函数关练习2.(四川省德阳市) 25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线11的顶点为C(3,4)，抛物线12与l i关于x轴对称，顶点为C .(1) 求抛物线12的函数关系式;(2)已知原点0,定点D(0,4), 12上的点P与l i上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D, 0, P, P为顶点的四边形是平行四边形?(3) 在12上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存,求出点M的坐标；若不存在，说明理由.练习3.(山西卷)如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A( 4,0) , B( 2,0) , E(0,8).(1)求抛物线G关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线G的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S .若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止•求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.二.二次函数与四边形的面积2例1.（资阳市）25.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c（a丰0）与x轴交于A B两点（点A在x 轴的正半轴上），与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：⑴求A、B C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m, 0），矩形DEFG勺面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=kDF, 若点M不在抛物线P 上，求k的取值范围.图10练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为（一8, 0）,点N的坐标为（一6,—4）.（1）画出直角梯形OMN绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点A, B, C的坐标（点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C）;（2）求出过A B, C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=A（=m 且E, F, G分别在线段CQ OA AB上，求四边形BEFG勺面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG^否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.练习3.(吉林课改卷)如图，正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心0处有一钉子.动点P ,Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止.P , Q 两点用一条可伸缩的细橡皮 筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm 2 .(1) 当0 < x < 1时，求y 与x 之间的函数关系式； (2) 当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；(3) 当1 < x < 2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及 钉子到运动停止时 Z POQ 的变化范围；(4) 当0< x < 2时，请在给出的直角坐标系中画出 y 与x 之间的函数图象.练习4.(四川资阳卷)如图，已知抛物线 丨1： y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线 l 1上的动点(B 不与A C 重合)，抛物线丨2与l 1关于x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABC 啲 第四个顶点为D(1) 求12的解析式；(2) 求证：点D 一定在1 2上;(3)□ ABC ［能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说明理由•注：计算结果不取近似值B CPAQ D BPCO三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28.如图1 ,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知0(0 , 0) , A(4 ,0), C(0 , 3)，点P是OA边上的动点(与点O A不重合).现将△ PAB沿PB翻折，得到△ PDB再在OC边上选取适当的点巳将厶POE沿PE翻折，得到△ PFE并使直线PD PF重合.(1) 设P(x, 0), E(0 , y) ,求y 关于x 的函数关系式,并求y 的最大值；(2) 如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3) 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使厶PEC是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.图 1 图 2例2. (2010年沈阳市第26题)、已知抛物线y = ax2 + bx+ c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB OC的长(O^OC是方程x2 —10x+ 16= 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x = —2.(1) 求A B、C三点的坐标；( 2)求此抛物线的表达式；(3)连接AG BC若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF// AC交BC于点F,连接CE设AE的长为m △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△ BCE勺形状；若不存在，请说明理由.例3..(湖南省郴州)27 .如图，矩形ABCDK AB= 3, BC= 4，将矩形ABCD&对角线A平移，平移后的矩形为EFG(A、E C、G始终在同一条直线上)，当点E与C重时停止移动•平移中EF与BC交于点N, GH与BC的延长线交于点M EH与D C交于点P, FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCM的面积，S表示矩形NFQC勺面积.(1)S与S相等吗？请说明理由.(2)设AE= x,写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？3)如图11,连结BE,当AE为何值时，ABE是等腰三角形.图10图11练习1. (07年河池市)如图12,四边形OAB(为直角梯形，A(4, 0) , B(3, 4) , C(0,4).点M从0出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动•其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动•过点N作NP垂直x轴于点P , 连结AC交NP于Q连结MQ(1)点 ______ (填M或N)能到达终点；(2)求厶AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自〜变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；(3)是否存在点M使得△ AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.—►图12练习2..(江西省)25 •实验与探究(1)在图1, 2, 3中，给出平行四边形ABCD的顶点A B, D的坐标(如图所示)，写出图1,2, 3中的顶点C 的坐标，它们分别是 (5,2),ABCD 的顶点A, B , D 的坐标(如图所示)，求出顶点 C 的坐标(C 点坐标用含a ， b, c, d ，e,归纳与发现(3)通过对图1, 2, 3, 4的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a, b), B(c , d), C(m, n), D(e, f)(如图4)时,则四个顶点的横坐标 a, c, m, e 之间的等量关系为 _________________；纵坐标b , d , n , f 之间的等量关 系为 ___________ (不必证明)；运用与推广一215 19(4)在同一直角坐标系中有抛物线y X (5c 3)x c 和三个点 Gc,— c , S - c,— c , 2 2 2 2H(2c,0)(其中c 0) •问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G, S, H , P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标.(2)在图4中，给出平行四边形f 的代数式表示)；2, 3中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2),答案：一.二次函数与四边形的形状例1.解：（1 ）令y=0,解得x i1 或 x23 ••• A (-1 , 0) B (3, 0);• y<0,即一y>0, - y 表示点E 到0A 的距离OA 是 YOEAF 的对角线，17• S 2S/OAE 2 2 OA y 6y 4（ ^）2 25.因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 x 的 取值范围是1 v x v 6.根据题意，当S = 24时，即4（x2）2257 21化简，得（x ）.解之，得x 1 3,x 2 4.2 4故所求的点E 有两个，分别为 E （ 3，- 4），E 2 （4，- 4）. 点E 1 （3，- 4）满足OE = AE ，所以YOEAF 是菱形；将C 点的横坐标x=2代入y2x 2 2x 3 得 y=-3，• C( 2，-3 ) •••直线AC 的函数解析式是y=-x-1（2）设P 点的横坐标为x （-1 w X W 2）贝9 P 、E 的坐标分别为：P （x , -x-1 ),2 2E ( (x, x 2x 3) •/ P 点在 E 点的上方，PE=( x 1) (x 2x 3)x 2 x1 9•••当x —时，PE 的最大值=-2 4(3) 存在 4 个这样的点 F ,分别是 F 1(1,0), F 2( 3,0),F 3(4 、、7,0), F 4(4此时点 E的点E2 （4，- 4）不满足OE = AE，所以YOEAF不是菱形.②当OAL EF，且OA = EF时，YOEAF是正方形,抛物线12的函数关系式为y (x 3)2 4 (或y x 2 6x 5)设点P 的横坐标为 m ，则其纵坐标为 m 2 6m 5, Q ODP PxOD ，以点D , O, P, P 为顶点的四边形是平行四边形.(3) 满足条件的点 M 不存在.理由如下：若存在满足条件的点F (0, 8).设抛物线C 2的解析式是16a 4b c 0,a 1,2y ax bx c(a 0),则 4a 2b c 0,解得 b 6,c8.c 8.所以所求抛物线的解析式是y x ：2 6x 8 .(2)由(1)可计算得点 M ( 3, 1), N(3,1).过点N 作NH AD ，垂足为H .当运动到时刻t 时，AD 2OD 8 2t , NH 1 2t .根据中心对称的性质 OA OD , OM ON ，所以四边形 MDNA 是平行四边形. 所以S 2S A ADN .所以，四边形 MDNA 的面积S (8 2t)(1 2t) 4t 2 14t 8.因为运动至点 A 与点D 重合为 止，据题意可知0< t 4.所以，所求关系式是 S 4t 2 14t 8 , t 的取值范围是0 < t 4.7 81AMB 90°, Q BAM 30° (或 ABM 30°),BM -AB2过点M 作MEAB 于点E ，可得BME BAM 30°.EB -BM23 , OE点M 的坐标为 (4, ■, 3) 但是，当x 4时，y 426 45 16 24不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形.xD(4,0) ,C(2,0),练习3.［解］(1)点A( 4,0)，点B( 2,0)，点E(0,8)关于原点的对称点分别为(2) Q P 与P 始终关于x 轴对称,PP 与y 轴平行.2 m 2 6m 54，即m 2 6m 5 2 .当 m 2 6m 5 2 时，解得 m 36当m 26m 5 2时，解得m 3.2 . 当点 P 运动到(3、、6,2)或(3 •、一 .. 2,2)或(32, 2)时,M 在12上，则（3）S 4 t - 81, （0 < t 4）.4 47 8i所以t -时，S有最大值—.4 4提示：也可用顶点坐标公式来求.（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD, MN，所以当AD MN时四边形MDNA 是矩形.所以OD ON .所以OD2 ON2 OH 2 NH 2.所以t2 4t2 2 0 .解之得匕6 2, t2.6 2 （舍）.所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t 、6 2 .［点评］本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。