4.2 独立事件积的概率
五、教学过程设计
(一)、复习回顾1.事件和
2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB.
(二)、讲授新课
1、有关概念、公式
概念引入
请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响.
上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响.
概念---互相独立事件
如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ;
注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件;
注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立.
概率乘法公式
一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么
P(AB)=P(A)·P(B)
也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式.
更一般地,如果n 21A ,,A ,A ⋯中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ⋯互相独立.如果n 21A ,,A ,A ⋯互相独立, 那么
P(n 21A A A ⋯)=)A (P )A (P )A (P n 21⋯
2、例题精析
(1)产品检验事件的概率问题(p.67)
例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？
解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件.
据题意,.1005)F (P ,1005)E (P ==
依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:
P(EF)=P(E)·P(F)=400
110051005 ·. 因此, 抽取２件产品都是次品的概率是
4001. [说明]1.返回抽取２件产品指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品放回这堆产品中,继续抽取.
2.不返回抽取指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品不放回这堆产品中,继续抽取.
3.如果本问“不返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？”，那么P(E)=100
5,但是“事件F 出现”受“事件F 出现”影响,即事件Ｅ与事件F 不是互相独立事件,如果事件F 出现,那么第二抽取被检产品总数为99件, P(F)=994,P(EF)= 1005·994=495
1,此处相乘是依据乘法原理. ⒋“不返回抽取２件产品”等价于“一次抽取２件产品”,所以P(EF)=210025C C =495
1 （2）扑克牌抽取事件的概率问题(p.67)
例２ 从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K.
解(见教材)
随堂练习p.67
①从一副52张的扑克牌中第一张抽取到Q,重新放回第二张抽取到有人头的牌,求这两事件都发生的概率.
②从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,4张牌都是A;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,4张牌都是A.
（3）帕斯卡和费马的友人的一个猜测(p.68)
例３ 试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性.
解(见教材)
⑷机床维护事件的概率
例４ 一名工人维护甲乙丙３
台独立的机床,在一小时内,甲乙和
丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、
0,85,求一小时内下列事件的概率
(Ⅰ)没有一台机床需要维护;
(Ⅱ)至少有一台机床不需要维
护.
解(见教材)
(5)电路故障事件的概率问题
例５ 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.
解:设A 、B 、C 分别表示Ａ、B 、C 三个开关断开的事件,它们是互相独立事件,它们的对立事件C ,B ,A 也是独立事件,
P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.2,,06.02.03.0)AB (P =⨯= )B A (P =1－0.06=0.94
(或()0.80.70.80.70.94P A B =+-⨯=)
该电路接通的概率为0.8×0.94=0.752,
电路不通的概率为1－0.752=0.248
[说明] 并联不通的概率用概率乘法公式,串联接通的概率用概率乘法公式.
(6)频率问题
概率度量了随机事件Ｅ出现的可能性大小.一般来说,在n 次重复试验中,若概率P(E)较大,则E 出现的频率也较大;反之, 若概率P(E)较小,则E 出现的频率也较小.
概率与概率具有下列性质:
① 非负性,即n
m ≥0; ② 对必然出现的事件,ｎ次试验中应出现ｎ次,若以Ω表示必然事件,则应有P(Ω)=
n n =1 ③如果Ａ与Ｂ是两不同时出现事件, 那么事件和的频率有如下公式
P(A ∪B)=P(A)＋P(B)
例6 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20, 射中7环及8环 频率0.40, 射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7环及以上频率和射击成绩3环及以下频率.
解(见教材)
例７ 己知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？
解(见教材)。