x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
x2 A2 sin(nt ) A2 x1 A1 sin(nt ) A1
这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2 所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。
2 上式是关于 n 的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，

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2 n 1, 2
ad ad 2 ( ) bc （3-9） 2 2
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由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式 n1 和 n 2 为实 中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正， 数；而且由于 ad>bc，式（3-9）中的根号项小与前面的项， 2 2 n1 和 n 2 只与振动 所以 n 1 和 n 2 为方程的两个正实根。 系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为 主频率。 较低的 n1 ，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的 n 2 称为第二阶固有频率。 理论证明，n个自由度系统的频率方程是 的n次代数方 程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频 率的个数与系统的自由度数相等。
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振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统 按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振 动系统本身的物理性质。 由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的 位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：
3.1.1二自由度振动微分方程
机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后， 要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。 在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。 下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。
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A21 a n1 c 2 A11 b d n1 2 （3-10） A22 a n 2 c 2 A12 b d n 2 式中，A11与A21为对应于基频 n1情况下，质量m1、m2的
2
1 2
振幅；A12与A22为对应于第二阶固有频率 n 2情况下，质量 m1和m2的振幅。
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三、二自由度系统的振动
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3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
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将以上解的固有频率 n1 和 n 2 分别代入（3-7），可以得 到对应于固有频率 n1 和 n1 的两振幅A1与A2之间的两个确 定的比值，这两个比值称为振幅比，用 1 和 2 表示，即：
3、主振型
（3-7）
显然，A1=A2=0是上述方程组的解，但这只代表系统的平衡 情况。对于A1与A2具有非零解的情况，方程组式（3-7）的 系数行列式必须等于零，即
a n c
将上式展开得：
4
2
b d n
2
2
0
n (a d )n 装备制造学院 College of Equipment Manufacture
由 b) 可知，在第二主振型中，在联系质 量m1和m2之间的弹簧k2上有这样一点， 它在整个振动过程中的任一瞬间始终保 持不动，这样的点称为“节点”。在二 自由度系统的第二阶主振型中存在着一 个节点，而在第一阶主振型中却不存在 节点。 振动理论证明，多自由度系统主振型的 阶数越高，节点数越高，第 i 阶主振型一 般有（i-1）个节点。 由于振动系统在节点处不动，因而振幅受节点的限制就不易 增大。节点数越多，其相应的振幅越难增大。相反，低阶的主 振型由于节点数少，因而，低阶振动容易激励起。所以，在多 自由度系统中低频主振动比高频主振动更危险。
归并整理得
1 F1 f1 (t ) (c1 c2 ) x 1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 m1 x
1 (c1 c2 ) x 1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 f1 (t ) x m1 2 c2 x 1 (c2 c3 ) x 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 f 2 (t ) x m2
由上式可知： 1） 1 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相同，即m1和 m2 总是按同一方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时 达到最大偏离位置。 2） 2 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相反，即m1和 m2总是按相反方向运动，当m1达到最右位置时，m2达到最 左位置。 a)表示振动系统 模型； b)纵坐标表示各 点的振幅比，可 作出相应的振型 图。
x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
（3-6）
(a n 2 ) A1 bA2 0 2 cA ( d 1 n ) A2 0
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令:
(k1 k 2 ) a m1
k2 b m1
k2 c m2
( k 2 k3 ) d m2
则上式可简化为
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
（3-5）
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2、固有频率 从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是 简谐振动。故在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作 简谐振动，则方程组（3-1）的特解为：
式中，A1、A2、Wn和初相位角 都有待确定。 把式（3-6）分别求一阶、二阶导数代入（3-5），消去公因 子，经整理，可得到振幅A1与A2的线性齐次代数方程组为
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研究二自由振动系统的振动问题时，要解决如下一些问题： ① ② ③ ④ 实际结构简化成二自由度系统模型； 系统振动微分方程的建立； 求解振动微分方程的方法； 振动响应特性的分析
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系统中质量 m1 和 m2 只限于在水平光滑平面上作往复直 线运动。m1 和 m2在任一瞬时位置只要用x1和x2两个独立坐 标就可以确定，因此，系统具有两个自由度。根据牛顿第二 定律有：
2 F2 f 2 (t ) c2 x 1 (c2 c3 ) x 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 m2 x
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
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4、主振动 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型进行振动时， n1 作自由 即为系统的主振动。振动系统按第一阶固有频率： 振动，称为第一阶主振动，可表示为
1 c1 c2 x m1 0 0 m 2 x2 c2 m1 式中， 0 1 k1 k2 c2 x 2 k 2 c2 c3 x k2 x1 f1 (t ) k2 k3 x2 f 2 (t )
（3-3）
多自由度振动系统的微分方程就具有这样的形式，如上述各矩 阵能直接写出，则建立方程就方便多了。在上述各矩阵中，质 量矩阵为对角形，所有惯性力不耦合；刚度矩阵为对称形，两 个方程都有x1与x2项，所以，弹性力是耦合的。
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（3-2）
0 c1 c2 为质量矩阵，用M表示； c m2 2 k 2
c2 为阻尼矩阵， c2 c3
k1 k2 用C表示；
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k2 为刚度矩阵，用K表示。 k 2 k3
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可见，振幅比确定了系统的振动形态，因此，称其为主 振型。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性 质，而与初始条件无关。 主振型与固有频率密切相关，系统有几个固有频率，就 有几个主振型。多自由度系统具有多个固有频率和相应的主 振型。与基频 n1对应的振幅比 1，称为第一阶主振型；与 第二阶固有频率 n 2 对应的振幅比 2 ，称为第二阶主振型。