第七章习题1． 有一平凹氦氖激光器，腔长m 5.0，凹镜曲率半径为m 2，现欲用小孔光阑选出00TEM 模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处两种情况下小孔直径各为多少？（对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基横模。

） 解：由RL g -=1，可计算出75.01=g ，0.12=g ，满足1021<⋅<g g ，故该腔为一稳定腔。

对He-Ne 激光器的nm 8.632=λ，则m L os 41017.3-⨯==πλω。

由公式（2.8.7）,当光阑放于紧靠凹面镜的情况下，44/121121082.4])1([1-⨯=⋅-=g g g g os s ωω，故小孔直径应为 m d s 311059.13.31-⨯=⋅=ω。

当光阑放于紧靠平面镜的情况下，44/121211017.4])1([2-⨯=⋅-=g g g g os s ωω，故小孔直径应为m d s 321038.13.32-⨯=⋅=ω。

2． 图7.1所示激光器的1M 是平面输出镜，2M 是曲率半径为cm 8的凹面镜，透镜P 的焦距cm F 10=，用小孔光阑选00TEM 模。

试标出P 、2M 和小孔光阑间的距离。

若工作物质直径是mm 5，试问小孔光阑的直径应选多大？ 解：m f 5.1820==λπω m m F f 0135.0)(120=+='ωω小孔光阑直径为mm 027.020='ω距透镜P :cm F F F l 10])(1[22022=+-='λπω距凹面镜2M :cm F l 4222==。

3． 激光工作物质是钕玻璃，其荧光线宽nm F 0.24=∆λ，折射率50.1=η，能用短腔选单纵模吗？解：1421014.2)1(-⨯=∆=∆m λλλHz c 12104.6)1(⨯=∆⋅=∆λν 由短腔选模条件：ν∆>'L c 2（7.1.3） 5103.22-⨯=∆<'νc L m L μη6.15103.25max ≈⨯=-。

故不能用短腔选单纵模。

4． 激光器腔长mm 500（光程长），振荡线宽Hz osc 10104.2⨯=∆ν，在腔内插入法布里-珀罗标准具选单纵模。

若标准具内介质折射率1=η，试求它的间隔d 及平行平板反射率r 。

解：由公式（7.1.6）osc d c νθμ∆=cos 2 其中1=μ，Hz osc 10104.2⨯=∆ν，令1cos =θ，m d 31025.6-⨯=由公式（7.1.7）： L c r r d c'=-212πμ 其中mm L 500='，则96.0=r 。

5． 两种选模复合腔如图7.2（a ）、(b)所示，1M 、2M 、3M 为全反射镜，4M 为部分透射镜。

1l 、2l 应如何选择？解： 对图7.2(a)所示的迈克尔逊复合腔，可看成是由两个子腔组合而成：全反射镜1M 和3M 组成一子腔，腔长为)(1l L +，谐振频率为i i q l L c ⋅+=)](2/[11ν，式中i q 为正整数（并假设折射率为1）；另一子腔由全反射镜1M 和2M 组成，其腔长为)(2l L +，同理，谐振频率为j j q l L c ⋅+=)](2/[22ν。

组合后的谐振腔必须同时满足两个腔的频率条件，令两等式相等并设第一个腔经过N 个频率间隔后正好和第二个子腔经过1+N 个频率间隔后的频率再次相等，则有ν'=+=+)(2/)(2/21l L cq l L cq j iν''=+++=++)(2/)1()(2/)(21l L N q c l L N q c j i式中ν'和ν''为同时满足上两式的两个相邻的频率，令ννν'-''=∆，计算可得)(2/21l l c -=∆ν，此即为复合腔的频率间隔。

对图7.2(b)所示的福克斯-史密斯式复合腔，其结构形式与迈克尔逊复合腔十分相似，只不过将半反镜转了九十度，此腔也由两个子腔组成，其中一个腔长为)(2l L +，而另一个腔长为)2(12l l L ++，同理，组合后的谐振频率间隔应为)(2/21l l c +=∆ν。

6． 若调Q 激光器的腔长L 大于工作物质长l ，η及η'分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，试求峰值输出功率m P 表达式。

解：由第五章习题1的结论，可知：L c N L l cN n dt dN '-'∆=δσ21，)(l L L L -'+='ηη 忽略自发辐射及泵浦激励的影响：n vN dtn d ∆-=∆212σ ln t 21σδ=∆ ，c L Rl δτ'= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'∆∆-=∆-∆∆=∴Rl t Rl t Nl L n n dtn d N n n dt dN τητ2)1( )1(21)1(21-∆∆'=∆∆-'-=∆∴nn L l n n L l n d dN t t ηη ]ln [21i it i n n n n n L l N N ∆+∆-∆∆∆'=-∴η ]ln [21i it n n n n n L l N ∆+∆-∆∆∆'=η 当t n n ∆=∆时，0=∆n d dN ，N 达到最大值m N )1ln (21]ln [21-∆∆-∆∆∆'=∆+∆-∆∆∆'=t i t i t i t i t t m n n n n n L l n n n n n L l N ηη vsT N h P m m 2121ν=7． 图7.3所示YAG Nd :激光器的两面反射镜的透过率分别为02=T ，1.01=T ，mm 120=ω，cm l 5.7=，cm L 50=，YAG Nd :发射截面219108.8cm -⨯=σ，工作物质单通损耗%6=i T ，折射率836.1=η，所价泵浦功率为不加Q 开关时阈值泵浦功率的二倍，Q 开关为快速开关。

试求其峰值功率、脉冲宽度、光脉冲输出能量和能量利用率。

解：%3.11ln 2121=-=r r i δδ 322211071.1-⨯==∆m ln t σδ 2=ptp P P 2=∆∆∴t i n n )1ln (21-∆∆-∆∆∆'=∴ti t i t m n n n n n L l N η 32022222105.3)12ln 2(1071.1105.42105.7836.1105.721----⨯=--⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=m ηη、 W S T N c h P m m 2.7732121==∴ην 8.01≈∆∆-=i f n n μ mJ n V h T E i 067.0)2()2(21=∆=∴νμδ s c L R 81066.1-⨯='=δτ 又2=∆∆ti n n 时， 481.2,016.2≈∆≈∆R e R r t t ττs t s t e r 881012.4,1035.3--⨯≈∆⨯≈∆∴s t t t e r 81047.7-⨯=∆+∆=∆∴8． Q 开关红宝石激光器中，红宝石棒截面积21cm S =，棒长cm l 15=，折射率为76.1，腔长cm L 20=，铬离子浓度3191058.1-⨯=cm N ，受激发射截面2201027.1cm -⨯=σ，光泵浦使激光上能级的初始粒子数密度319210-=cm n i ，假设泵浦吸收带的中心波长m μλ45.0=，2E 能级的寿命ms 32=τ，两平面反射镜的反射率与透射率为95.01=r ，01=T ，7.02=r ，3.02=T 。

试求：（1） 使2E 能级保持319210-=cm n i 所需的泵浦功率p P ；（2） Q 开关接通前自发辐射功率P ；（3） 脉冲输出峰值功率m P ；（4） 输出脉冲能量E ；（5） 脉冲宽度τ（粗略估算）。

解：（1）. kW V h n P s ip 1.222≈=ντ（2）. kW V h n P s i3.14212≈=ντ（3）. %4.20ln 2121≈-=r r δ 324211007.1-⨯≈=∆m ln t σδ 32422102.4)(-⨯≈--=∆m n N n n i i i93.3≈∆∆∴ti n n MW n n n n n ST L cl h P t i t i t m 513)1ln (4121≈-∆∆-∆∆∆'=∴ν （4）.由书中图7.3.5(a)得02.0≈∆∆i fn n98.01≈∆∆-=∴i fn n μJ n V h T E i 6.7)2()2(≈∆=∴νμδ （5）. ns P Et m 15≈≈∆ 9． 若有一四能级调Q 激光器，由严重的瓶颈效应（即在巨脉冲持续时间内，激光低能级积累的粒子不能清除）。

已知比值2=∆∆t i n n ，试求脉冲终了时，激光高能级和低能级的粒子数2n 和1n （假设Q 开关接通前，低能级是空的）。

解： t i n n ∆=∆2 ，i n n n ∆=+21由图7.3.5(a)得2.0≈∆∆i fn ni fi n n n n ∆=∆-∆=4.021i n n ∆=6.0210． 考虑一锁模激光器，其相邻模初位相βϕϕ=--1q q ，若输出光中各个模式光强按频率的分布是高斯函数分布，试证明输出脉冲按时间的分布也是高斯形的，并求出振荡带宽osc ν∆和脉冲宽度τ之间的关系。

（提示：合成电场求和近似地用积分来处理；osc ν∆及τ均按半最大值定义）解：))(2exp()()()(2020*ωωωωω--==a E E E I 其中，const a =ωωωωωωd t i t i a E E )exp()exp())(exp()(0200----=⎰∞∞- ωωωωωd t i a E ))(exp())(exp(0200---=⎰∞∞- )4exp(20a t aE -=π )exp()(220a t aE t I -=π 当0=t 时，aE I π20)0(= 当1t t =时，aE t I 2)(201π= )exp()(21201a t aE t I -=π 2ln 21a t =⇒ 2ln 2221a t ==τ；当0ωω=时，200)(E I =ω当1ωω=时，20121)(E I =ω ))(2exp()(20201ωωω--=a E I 2ln 2101a+=⇒ωω 2ln 2112)(201a ππωων=-=∆ 2ln 2πντ=∆∴ 11． 一锁模Ne He -激光器振荡带宽为MHz 600，输出谱线形状近似于高斯函数，试计算其相应的脉冲宽度。