第七章 习题解答(部分)［1］用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。

已知πω5.0=c ，51=N 。

求出)(n h 并画出滤波器的幅度响应曲线。

解：由题意得理想线性相位低通滤波器为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-πωωωωωαω 0 )(c c j j d e e H理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：⎰⎰+---==ccd ed eeH n h n j nj j d d ωωαωππωωωπωπ)(21)(21)(⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=αααπαωn n n n c 0)()](sin[式中α为线性相位所必须的位移， 2521=-=N α。

因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⋅=其它0500)25()]25(5.0sin[)()()(n n n n R n h n h N d ππ该低通滤波器的幅度响应曲线如图1所示。

［2］。

求出)(n h 解⎪⎩-<≤0 0c d ωπω理想高通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：⎰⎰+----==ccd eed eeH n h nj j nj j d d ωπωπωαπωππωωωπωπ)(21)(21)(ccn j j en j eωπωπαωαπαπ+---=)()(2[])()(sin )1(απαω---=n n c n式中α为线性相位所必须的位移， 1021=-=N α，因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=⋅=其它0200)10()]10(5.0sin[)1()()()(n n n n R n h n h n N d ππ该低通滤波器的幅度响应曲线如图2所示。

［3 （1 （2 （3）若改用汉宁窗设计，写出)(n h 的表达式。

解：根据是题意，单位冲激响应)(n h d 为：⎰⎰+---==ccd ee d eeH n h nj aj nj j d d ωπωπωπωπωωωπωπ)(2021)(21)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+--+--⎰c cca n j ja a n j ja e a n j ed eeωπωπωπωπωπωππωπ)()()(12121 )(])s i n [()1(a n a n c n---=πω式中a 为线性相位所必须的位移，已知需满足21-=N a 。

(说明：在题中只给定了)(ωj e H 在(π~0)之间的表达式，但在求解时，必须把它看成(ππ~-)或(π2~0)之间的分布，不能只用(π~0)区域求解。

)⎩⎨⎧-≤≤=⋅=nN n n h n R n h n h d d 其它010)()()()(（2）情况1：N 为奇数，21-=N a 为整数，)(n h d 关于a 偶对称。

即有)1()(n N h n h --=，为第一种类型线性相位滤波器。

情况2：N 为偶数，21-=N a 不是整数，这时)(n h d 关于a 奇对称，即)1()(n N h n h ---=，因此为第四种类型线性相位滤波器。

（3）[])()()(sin )1(12cos 121)()()(n R a n a n N n n w n h n h N c n d ---⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==πωπ ［4］用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器⎩⎨⎧=-0)(ωαωj j d e eH πωωωωωωωωωωω≤≤+-≤≤+≤≤-cc c c 0000,0（1）设计N 为奇数时的)(n h 。

（2）设计N 为偶数时的)(n h 。

（3）若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的)(n h 表达式。

解：根据该线性相位带通滤波器的相位：ωωαωθ21)(--=-=N可知该滤波器只能是)(n h 为偶对称的情况，)(n h 为偶对称时，可为第一类和第二类滤波器。

(1)当N 为奇数时， )1()(n N h n h --=为第一类滤波器。

理想单位冲激响应)(n h d 为： ωπωππωd e eH n h nj j d d ⎰-=)(21)( ⎰⎰+--+----+=ccccd eed eenj aj nj a j ωωωωωωωωωωωωωπωπ00002121][)(121))(())(())(())((0000c c c c a n j a n j a n j a n j ee e ea n j ωωωωωωωωπ--+-+--+---+--⋅=])c o s [(])s i n [()(20ωαωαπα---=n n n c])cos[(])[(20ωαωαπω--=n n Sa c c所以单位冲激响应)(n h 为：⎩⎨⎧-≤≤=⋅=其它10)()()()(N n n h n R n h n h d d因为])[(c n Sa ωα-和])cos[(0ωα-n 均对α偶对称，所以)(n h d 亦对α偶对称，为保证线性需满足21-=N α。

（2）当N 为偶数时，)1()(n N h n h --=为第二类滤波器])cos[(])sin[()(2)(0ωαωαπα---=n n n n h c d⎩⎨⎧-≤≤=⋅=其它10)()()()(N n n h n R n h n h d d（3）若采用海明窗设计，则)(12cos 46.054.0)(n R N n n w N Ham ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=π。

N 为奇数时，)(])cos[(])sin[()(2)(0n w n n n n h Ham c d ωαωαπα---=N 为偶数时，)(])cos[(])sin[()(2)(0n w n n n n h Ham c d ωαωαπα---=［5］低通滤波器的技术指标为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤01.0)(01.1)(99.0ωωj j e H e H πωππω≤<≤≤35.03.00 用窗函数法设计一个满足这些技术指标的线性相位FIR 滤波器。

解：有已知条件可知0.3p ωπ=，0.35s ωπ=，则过渡带宽0.05s p ωωωπ∆=-=。

20.01α=，220lg 20lg(0.01)40s dB δα=-=-=通过查表，选择汉宁窗。

其阻带最小衰减44dB 满足要求。

所要求的过渡带宽(数字频域)0.05s p ωωωπ∆=-=。

由于汉宁窗过渡带宽满足Nπω2.6=∆，所以滤波器阶的参数为：12405.02.62.6==∆=ππωπNπωωω325.02/)(=+=p s c所以理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为： ⎰⎰+---==ccd ed ee H n h a n j nj j d d ωωωππωωωπωπ)(21)(21)()()](sin[a n a n c --=πω式中a 为线性相位所必须的位移，需满足5.6121=-=N a 。

由汉宁窗表达式)(n w Han 确定FIR 滤波器的)(n h 。

由于汉宁窗函数序列为：)(12cos 121)(n R N n n w N Han ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π 因此，所设计滤波器的单位冲激响应)(n h 为：)(1232cos 1)5.61()]5.61(325.0sin[21)()()(124n R nn n n w n h n h d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---==πππ ［6］用矩形窗设计线性相位低通滤波器，逼近滤波器频率响应)(ωj d e H 满足：⎩⎨⎧=-0)(ωαωj j d e eH πωωωω≤<≤≤c c 0 （1）求出相应于理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d ； （2）求出矩形窗设计法的)(n h 表达式，确定α与N 之间的关系； （3）N 取奇数或偶数对滤波器特性有什么影响？ 解：（1）⎰⎰+---==ccd ed eeH n h a n j nj j d d ωωωππωωωπωπ)(21)(21)()()](sin[a n a n c --=πω(2) 为了满足线性相位条件，要求21-=N a ，N 为矩形窗函数长度。

加矩形窗函数得到)(n h ：)()()(n R n h n h N d ⋅=)()()](sin[n R a n a n N c ⋅--=πω⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤≤--=nN a N n a n a n c 其它 021 ,10 )()](sin[πω(3) N 取奇数时，幅度特性函数)(ωH 关于0,,2ωππ=三点偶对称，可实现各类幅频特性；N 取偶数时，)(ωH 关于ωπ=奇对称，即0)(=πH ，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。

［7］请选择合适的窗函数及N 来设计一个线性相位低通滤波器⎩⎨⎧=-0)(ωαωj j d e eH πωωωω≤<≤≤c c 0要求其最小阻带衰减为dB 45-，过渡带宽为51/8π，πω5.0=c ，求出)(n h 并出)(l o g 2010ωj e H 幅度响应曲线。

解：理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：⎰⎰+-----==ccd ed eeH n h a n j nj j d ωωωππωωωπωπ)(21)(21)()()](sin[a n a n c --=πω式中a 为线性相位所必须的位移，需满足21-=N a 。

由阻带衰减s δ来确定窗形状，由过渡带宽确定N 。

由于dB s 45=δ，查表可选海明窗，其阻带最小衰减dB 53满足要求。

所要求的过渡带宽(数字频域)518πωωω=-=∆p s 。

由于采用海明窗，过渡带宽满足Nπω8=∆，所以5151/888==∆=ππωπN2521=-=N a由海明窗表达式)(n w Ham 确定FIR 滤波器的)(n h 。

由于海明窗函数序列为：)(12cos 46.054.0)(n R N n n w N Ham ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π因此，所求滤波器的单位冲激响应)(n h 为：)()()(n w n h n h Ham d =)(16cos 46.054.0)25()]25(5.0sin[n R n n n N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=πππ， 500≤≤n ［8］用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器，32=N ，2/πω=c ，边沿上设一点过渡带39.0)(=k H 。

试求各点采样值)(k H 。

解：因为32=N 为偶数，因此只能是第二种类型滤波器，即)()(k N H k H --=。

由于频率间隔162ππ==∆N F ， 因此采样点的相位值为：k k N N k ππθ3231221)(-=⋅--= 而8162⋅==ππωc ，（在k =8处）为保证通带指标，取23,8=k 为过渡点，所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-====---- 31,,25,24 )过渡点(2339.022,,10,9 0)过渡点(839.07,,1,0 )( 3231323132313231k ek e k k e k ek H k j k j k j k j ππππ ［9］用频率采样法设计一线性相位高通滤波器，通带边界频率4/3πω=p ，边沿上设一点过渡采样点39.0)(=k H ，求在（1）33=N 及（2）34=N 时的采样值)(k H 。