空间几何平行与垂直证明 线面平行
方法一：中点模型法
例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE
练习：
1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点，
（1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。
P A B
C
D E
C
B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD .
(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD .
3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为
AB,BC,CD,DA 的中点.
求证：AC//平面EFG.
4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH.
方法二：平行四边形法
例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点.
求证：OE //平面ADP
A B C D
E
F
G H
A B
C
D E F
G
H
P
A
B
C
D
E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B
练习
1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点
证明：直线MN ‖平面O C D ；
2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点.
求证：//A F 平面PC E
3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．
求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1；
G
E D 1
C 1
B 1
A 1A D
C
B
O A
M D
C
B N P B C
D
A E F
D 1O
D B
A C 1
B 1
A 1
C
4. 如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ，
60
=∠DAB ，11AD AA ==，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，
（1）求证：//MF 面ABCD ；（2）判断直线M F 与平面11B BDD 的位置关系，并证明你的结论；
方法三：构造平面法
例：1.如图， ,,E F O 分别为P A ，P B ，A C 的中点．
G 是O C 的中点，证明：//F G 平面B O E
方法四：线段比例法
例1、如图所示,已知正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ不共面，ＡＮ＝ＤＭ .求证：ＭＮ∥平面ＢＣＥ.
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
F
M
面面平行
题1、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．
(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值．
练习
1．如图，在正方体ＡＢＣＤ－1A 1B 1C 1D 中，ＡＢ＝a 求证：平面Ａ1D 1B ／／平面1C ＤＢ．
2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，过M 作MH ⊥AB 于H ，
求证：平面MNH//平面BCE ；
A 1 A
B C
B 1
C 1 E F M
N
D 1 D
1
A 1C
D
3、已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且P M ：MA=BN ：ND=PQ ：QD. 求证：平面MNQ ∥平面PBC .
线面垂直
例：1．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，且1A A ⊥底面ABC ，D 为
1C C
的中点，1A B 与1A B 相交于点O ，连结O D ，
求证：//O D 平面ABC ；（2）求证：1A B ⊥平面1A B D 。
2．如图所示，四边形A B C D 为矩形，AD ⊥平面A B E ，F 为C E 上的点，2AE EB BC ===，且B F ⊥平面AC E （1）求证：A E ⊥平面BC E ； （2）求证：//A E 平面BFD ；
G Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｅ
3.如图，正方形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥平面BCE ；
4．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，
ED A C
⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 122
==
(如图11) ．
（I ）证明：B C 11//平面A BC 1；
（II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．
5.如图，在四棱锥
P A B C D
-中，底面
A B C D
是边长为a 的正方形，侧面
PAD ^底面ABCD
，且2
PA PD AD ==，若E 、F 分别为P C 、BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面P A D ； （2）求证：PA ⊥平面PDC .
图11
D
E A 1
C B
A
C 1
B 1
6、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为
平行四边形，045ADC ∠=，1A D A C ==，O 为A C 中点，
P O ⊥平面A B C D ，2P O =， M 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：P B //平面A C M ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）求直线A M 与平面A B C D 所成角的正切值．
面面垂直
例1.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点． （1）求证：平面PDC ^平面PAD ；
（2）求证：BE//平面PAD ．
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点． (1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD .
A B C
D E
P
3．如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；
（2）求二面角P —BC —A 的大小；（3）求三棱锥P —AEF 的体积.
4.如图，四棱锥P A B C D -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上。
（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小。
线线垂直
例1如图，在四棱台1111ABC D A B C D -中，1D D ⊥平面A B C D ，
底面A B C D 是平行四边形，
AB=2AD ，11A D =A B ，B A D =∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11C C A BD ∥平面.
A
B
C P E F
2、如图，在三棱锥P A B C -中，A B A C =，D 为B C 的中点，P O ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段A D 上． （Ⅰ）证明：AP ⊥B C ；
（Ⅱ）已知8B C =，4P O =，3A O =，2O D =．求二面角B AP C --的大小．
3．如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥PBC 求证：AB ⊥BC
4、如图，在=
2,2
A B C B A B B C P A B π
∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC
交AC
于 点D,现将'',PD A .PD A PD PD A PBC D ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长； （2）若点P 为AB 的中点，E 为''.A C B DE ⊥的中点，求证：A
P A B
C。