一.圆地概念集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念：1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆；（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）；3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线.二.点与圆地位置关系1.点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2.点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3.点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三.直线与圆地位置关系1.直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2.直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3.直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四.圆与圆地位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；A外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六.圆心角定理图4图5BD圆心角定理：同圆或等圆中,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中地1个相等,则可以推出其它地3个结论, 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七.圆周角定理1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2.圆周角定理地推论：推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠.D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆,所对地弦是直径.即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形.即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理.八.圆内接四边形BABAO圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九.切线地性质与判定定理（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆心地连线平分两条切线地夹角.即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一.圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦.如图：12O O 垂直平分AB . 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三.圆地公切线两圆公切线长地计算公式：DBA（1）公切线长：12Rt O O C ∆中,221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 . 十四.圆内正多边形地计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:2OD BD OB =；（2）正四边形同理,四边形地有关计算在Rt OAE ∆中进行,::OE AE OA =（3）正六边形同理,六边形地有关计算在Rt OAB ∆中进行,::2AB OB OA =.十五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2012数学中考圆综合题1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆地切线；lO（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆地直径．2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．(1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．3. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A.B 两点,AE 是⊙0地直径．点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE,过C 作CD ⊥PA,垂足为D. (1)求证：CD 为⊙0地切线；(2)若DC+DA=6,⊙0地直径为l0,求AB 地长度. 1. (1)证明：连接OC,∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD ⊥PA,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO. ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0地半径,∴CD 为⊙0地切线．(2)解：过0作0F ⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O 地直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =.由AD<DF,知05x <<,故2x =.从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB,由垂径定理知,F 为AB 地中点,∴AB=2AF=6. 4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ．(1)如图①,当PA 地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°； 当PA 地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形；(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示地直角坐标系（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值．5.6.（11金华）如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF地两边相交于A .B 和C .D ,连结OA ,此时有OA//PE ． （1）求证：AP =AO ； （2）若tan ∠OPB =12,求弦AB 地长； （3）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ .（1）∵PG 平分∠EPF ,∴∠DPO =∠BPO ,∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA ,∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ； ……2分 （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =12AB ,……1分∵ tan ∠OPB =12OH PH =,∴PH =2OH , ……1分 设OH =x ,则PH =2x ,由（1）可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH －P A =2x －10,∵222AH OH OA +=, ∴222(210)10x x -+=, ……1分解得10x =（不合题意,舍去）,28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P .A .O .C ；A .B.D.C 或 P .A.O.D 或P .C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分）如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,P A ＝ 32AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长．8．（黄冈市）（6分）如图,点P 为△ABC 地内心,延长AP 交△ABC 地外接圆于D,在AC 延长线上有一点E,满足AD 2＝AB ·AE,求证：DE 是⊙O 地切线.P A B CO D EFG第21H PABC O DE FG（证明：连结DO,∵AD 2＝AB ·AE,∠BAD ＝∠DAE,∴△BAD ∽△DAE, ∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB,∴∠ACB ＝∠E,BC ∥DE, 又∵OD ⊥BC,∴OD ⊥DE,故DE 是⊙O 地切线）9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是AE 地中点,OM 交AC 于点D ,60BOE ∠=°,1cos 2C =,23BC =（1）求A ∠地度数；（2）求证：BC 是⊙O 地切线； （3）求MD 地长度． （解：（1）∵∠BOE =60° ∴∠A ＝12∠BOE ＝ 30°（2）在△ABC 中 ∵1cos 2C = ∴∠C =60°…1分 又∵∠A ＝30°∴∠ABC =90°∴AB BC ⊥……2分 ∴BC 是⊙O 地切线（3）∵点M 是AE 地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt △ABC 中 ∵23BC =∴AB =tan 60233BC ︒==6 ∴OA =32AB = ∴OD =12OA =32 ∴MD =32）10. （兰州市）（本题满分10分）如图,已知AB 是⊙O 地直径,点C 在⊙O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC 是⊙O 地切线； （2）求证：BC=21AB ；（3）点M 是弧AB 地中点,CM 交AB 于点N,若AB=4,求MN ·MC 地值. 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB 是⊙O 地直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP ∵OC 是⊙O 地半径 ∴PC 是⊙O 地切线（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB∴BC=OC ∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M 是弧AB 地中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN ∽△MCB∴BM MNMC BM = ∴BM 2=MC ·MN∵AB 是⊙O 地直径,弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC ·MN=BM 2=811．（本题满分14分）OB ACE M D如图（1）,两半径为r 地等圆1O 和2O 相交于M N ，两点,且2O 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交1O 和2O 于A B ，两点,连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系,并给出证明；（2）猜想NAB △地形状,并给出证明； （3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN ,且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明． 4. （1）2O 在1O 上证明：2O 过点1O ,12O O r ∴=．又1O 地半径也是r ,∴点2O 在1O 上．（2）NAB △是等边三角形 证明：MN AB ⊥,90NMB NMA ∴∠=∠=．BN ∴是2O 地直径,AN 是1O 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上．连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==．AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形．（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O 中MN 所对地圆周角为60．在2O 中MN 所对地圆周角为60． ∴当点A B ，在点M 地两侧时,在1O 中MN 所对地圆周角60MAN ∠=,在2O 中MN 所对地圆周角60MBN ∠=,NAB ∴△是等边三角形．12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点．图（1）图（2）（1）求弦DE 地长．（2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中, AP ==1122ADP S AD DP APDF ==△DF ∴=AD 地度数为9045DEA ∴∠=DE ∴=（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QCCP=得：1QC =．即点Q 与点B 重合,0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PCQC=得14QC =,即34BQ BC CQ =-=∴当0BQ =或34BQ =时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似． 13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF =213-,求证△DCE ≌△OCB 6. 解：(1)∵∠ABC =30°,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°,∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形． (2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）E图12第6题图E 5题图1E5题图2E 5题图3如图14,直线AB 经过O 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=,O 地半径为3,求OA 地长． （1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =,CA CB =,OC AB ∴⊥． AB ∴是O 地切线．（2）2BC BD BE =． ED 是直径,90ECD ∴∠=． 90E EDC ∴∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠,BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=． （3）1tan 2CED ∠=,12CD EC ∴=． BCD BEC △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =． 又2BC BD BE =,2(2)(6)x x x ∴=+．解之,得10x =,22x =．0BD x =>,2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．15 如图14,直线AB 经过O 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=,O 地半径为3,求OA 地长． 4 解：（1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O 地切线．（2）2BC BD BE =． ED 是直径,90ECD ∴∠=．90E EDC ∴∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠,BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=． （3）1tan 2CED ∠=,12CD EC ∴=．BCD BEC △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =．又2BC BD BE =,2(2)(6)x x x ∴=+．解之,得10x =,22x =．0BD x =>,2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径)地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点,PE ∥OD ；延长直径(5题) P E D K H GC AB FOAG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ； （3）若EF ＝2,FO ＝1,求KE 地长．5 解：(1)∵AC ＝BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO ＝90°(1分)∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°,∵PE 是切线,∴∠PEO ＝90°,(2分)∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分)∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分) (3)∵EF ＝2,OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD , ∴∠KEO ＝∠DOE ,∠K ＝∠ODG .∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 如图,直角坐标系中,已知两点O(0,0) A(2,0),点B 在第一象限且△OAB 为正三角形,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴于点C,过点C 地圆地切线交X 轴于点D ． （1）求B C ，两点地坐标；（2）求直线CD 地函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上地两个动点,且EF 平分四边形ABCD 地周长． 试探究：AEF △地最大面积？ 6 （1）(20)A ，,2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ,OAB △为正三角形,1OG ∴=,3BG =．(13)B ∴，．连AC ,90AOC ∠=,60ACO ABO ∠=∠=,23tan 303OC OA ∴==．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，．（2）90AOC ∠=,AC ∴是圆地直径,又CD 是圆地切线,CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=,2tan 303OD OC ==．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠,则233203b k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得3233k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD 地函数解析式为2333y x =+． （3）2AB OA ==,23OD =,423CD OD ==,233BC OC ==,∴四边形ABCD 地周长2363+．设AE t =,AEF △地面积为S ,则333AF t =+-,133sin 603243S AF AE t t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭． 233393733434632S t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当936t +=时,max733128S =+． 点E F ，分别在线段AB AD ，上,023203233t t ⎧⎪∴⎨+-+⎪⎩≤≤≤≤,解得1323t +≤≤． 936t +=满足1323t +≤≤,AEF ∴△地最大面积为733128+． 7 如图（18）,在平面直角坐标系中,ABC △地边AB 在x 轴上,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C ．若点C 地坐6题（第6题）标为(02)，,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2(2)10x m x n -++-=地两根． （1）求m .n 地值；（2）若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB （点C 除外）于点M .N ．则11CM CN+地是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 7 解：（1）以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=,而点C 地坐标为(02)，,由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=,即：4(5)AO AO =-,解之得：4AO =或1AO =．OA OB >,4AO ∴=,即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩,解之5m =-,3n =-．（2）如图（3）,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E ,易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=,在ABC △中,易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC∴=∥，, AD AEDE EC BD DE =∴=，, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD ACDB BC ∴==,553AB DB ==，,则23OD =,即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,易求得直线l 对应地一次函数解析式为：32y x =+． 解法二：过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△,求得DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==△求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,易求直线l 解析式为：32y x =+． （3）过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠地平分线,DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△,有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△, 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=, 即11110CM CN DE +== 8 如图,在ABC △中90ACB ∠=,D 是AB 地中点,以DC 为直径地O 交ABC △地三边,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，地交点为M ,且ME =,:2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 地直径CD 地长．8 （1）连接DFCD 是圆直径,90CFD ∴∠=,即DF BC ⊥90ACB ∠=,DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠． 2分（2）D 是Rt ABC △斜边AB 地中点,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由（1）知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠．图（3）l '第25题图又OME EMC ∠=∠,OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分又4ME =,296OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴⨯=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==．。