则由F拉( x氏)在中[a值,b定]上理满,知足:罗至尔少定存理在的一条个件,且(ax,b),(使a,b得),有
F (
f (b) x) b
f (a) f (ab)
f(af)(g(),x)
g(b) g(a) f b( x)a,

g(
),
由罗尔fg定((bb理)) ,知ggf(((:baa)))ggf((aa((),b))).,使正得确F吗(?)为 0什. 么?
(1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导,
o a
bx
则至少存在一点 (a,b), y
罗尔定理
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
o a
bx
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若f ( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
证明: 令F ( x) f ( x) f (a)
定例理3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
则至少存在一点 (a,b),使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f ( ) . g( )
柯证西明(C: a由uc(h3)y知)中:值g(定b) 理 g(a) 0几, 何解释
xf)(fbb()xf)(,abf )(a)
f(aff)(a(g)(),x)
g(b) g(a) f b( x)a,

g(
),
由罗x尔[fga定((,bbb理])).,知ggf(((:baa)))ggf((aa((),bo))).,使正得g确(Fa吗)(g?()为)0什. g么(b?)
2 证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
则 f ( x)在[1,1]上连续, 在(1,1)内可导,
且 f ( x)
1 ( 1 x2
1 1
) x2

0,
f ( x)为[1,1]上的常值函数,
又 f (0) arcsin0 arccos0 0 ,
设 f ( x)在[ x1, x2 ]上连续,在( x1, x2 )内可导,则
至少存在一点 ( x1, x2 ),使得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ).
例1 证明当 x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t ),
f ( x2 ) f ( x1) f ( ) ( x2 x1), 其中 位于x1与x2之间, 又由题知 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1) 0, f ( x1) f ( x2 ), 由x1和x2的任意性知, 推论成立.
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
第三章 中值定理与导数的应用
中值定理
泰
勒
中
罗尔定理
值
定
柯西中值定理
理 （
泰
勒
公
拉格朗日中值定理
式 ）
第一节 微分中值定理
观察图形 y f ( x), x [a,b]:
y
y
o a
b
y
o a 1 2 3 4 5 b
x o a 1 2 b
x
条件 : f ( x)满足
(1) 在[a,b]上连续;
f (b) f (a)( x a), ba
则F ( x)满足 :
(2) 在(a,b)内可导,
则至少存在一点 (a,b),
(1) 在[a,b]上连续, (2) 在(a,b)内可导,
(3) F(a) F(b) 0,
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
由罗尔定理,知 :
其证明见罗尔定理的证明过程
★罗尔定理的证明: f ( x) 在 [a,b] 连续, f ( x)在[a,b]可取得最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 对x [a,b],有f ( x) M .
从而对x (a,b),有f ( x) 0. 即 (a,b), 有 f ( ) 0.
至少存在一个 ( x0, x1),使得 f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, x (0,1), 矛盾, ∴在(0,1)内f (x)有且仅有一个零点,
即原方程在(0,1)内有且仅有一个实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 y
若f ( x)满足 :
例题
例1 证明: 在(0,1)内,方程 x5 5x 1 0 有且仅有 一个实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理, 知
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即方程在(0,1)内有实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, 不妨设 x1 x0 . 关于[ x0, x1], f ( x) 满足罗尔定理的条件,
至少有一个零点.
思考题提示或答案
2、已知
a0
a1 2


an n1
0,
证明: f ( x) a0 a1x an xn在(0,1)内
至少有一个零点.
提示 : 考虑
g(
x)

a0
x

a1 2
x2
an xn1 . n1
(2) 若 M m. f (a) f (b), 最大值和最小值中至少 有一个在区间(a , b)内取得,
不妨设 f ( ) M , (a,b). f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
dx 1
x
1 x2
思考题
1、已知f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4),问方程 f ( x) 0有几个根,分别在何区间内?
2、已知
a0
a1 2


an 0, n1
证明: f ( x) a0 a1x an xn在(0,1)内
则考令有由F察F人拉(X(参x给氏x)在)数出中g[方a如(值fg,x程b((下)定bb],上)):证理满明g,f知(足(aa:ff):)罗(([Yb至g尔))( x少定) 存理g在(的a一)条] 个件[,f且( x()ax,bf),((使aa,)b得],),有
Y F (
22
arcsin x arccos x (1 x 1) .
2
同理可证: arctanx arc cot x ( x ).
2
例3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
f ( ) 0,
f ( )存在, f( ) f( ) f ( ),
f ( ) 0且f ( ) 0, f ( ) 0.
注: 罗尔定理是一个充分性定理.
例如:
y

f (x)

1,

1,
1 x 0 .
0 x 1
1 1 1 x,
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1若 f ( x) 在区间 I 上连续,且在(I )内的导数恒为零 , 则 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
证 设 x1与x2为I上任意两点, x1 x2 , 则拉格朗日中值定理,知 :
则 F( x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,且x (a,b),有
F( x) f (b) f (a) g( x) f ( x), g(b) g(a)
由罗尔定理,知 : (a,b),使得 F( ) 0.
定例理3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
则 f (t) 在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f ( x) ln(1 x), f (0) 0, f (t) 1 , 1 t
ln(1 x) x ,
1
又 0 x,
X
补充
二阶行列式、三阶行列式的定义与计算 (附录1，P339)
◆二阶行列式
a
b ad bc.
cd
例如
2
1 2(3) 5(1) 1.
5 3
x 2 y f ( x) 2( x 2 y) f ( x).
1
2
d x ln( x2 1) [ x2 ln( x2 1)] 2 x 2 x .
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
则至少存在一点 (a,b),使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f ( ) . g( )
柯证西明(C: a由uc(h3)y知)中:值g(定b) 理 g(a) 0,
令有F (人x)给出fg如((bb))下证gf((明aa)):[g( x) g(a)] [ f ( x) f (a)],
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
即
f( )