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微分中值定理经典题型


(1) 求

内的极值可疑点
(2) 最大值 最小值
M max
f (a) , f (b)
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
4.连续曲线凹凸与拐点
(1)凸(凹)函数的定义
设f : I R,若x1 , x2 I, [0,1]有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
(2) f (1) f () f '( )(1 ) f () f (0) f '() (,1) (0, )
又f (1) f () 1 f ()
f ( ) f (0) f ( ) 1
1 f '( ) f '() , 0, ( 1)
证 设 x0 [0,1], 在 x0 处把 f ( x ) 展成一阶泰勒公式 有 ,
1 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 )2 2
令 x 0, x 1, 则有
1 2 f (0) f ( x0 ) f ( x0 ) x0 f (1 ) x0 2 1 f (1) f ( x0 ) f ( x0 )(1 x0 ) f ( 2 )(1 x0 )2 2
洛必达法则
Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
g

1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 型
f g f 1g
Lagrange f (a ) f (b) Rolle 中值定理 定理
n0
Fermat定理

又因 f ( x ) 及 x 2在 [a , b] 上满足柯西定理条件 ,
故有 ②
ab 将①代入② , 化简得 f ( ) f ( ), , (a , b) 2
例1 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微, 且 f (0)
1 f (1), f ( x ) 1, 证明 : f ( x ) ( x [0,1]) 2
使
f ( x ) sinln x , F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e ) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) 因此 F (e ) F (1) F ( ) 即 分析:

1
cos ln
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件
过 过 由正变负 由负变正 为极大值 为极小值 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件

3. 在[a, b]上连续的函数f(x)的最大(小)值求法
求函数最值的方法:
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0.
证明: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M

f ( ) f ( ) 0
0
e f ( )e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
证明 作辅助函数F ( x ) e x f ( x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上 满足罗尔定理条件.
1'. 设f ( x )在R上可微,且f ( x ) f ( x ) 0, 证明 f ( x ) 至多只有一个零点.

1
8.
试证存在

f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) ,即要证 . 证明: 欲证 2 2 ab 2 b a 2
因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足L-中值定理条件,
故有
f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b)
1 又f (a h) f (a ) hf (a ) f (a 2 h)h2 (0 2 1), 2 1 2 2 两式相减,得 h f ''(a 1 h) h f (a 2 h) 2
h 0
令h→0,两边取极限,利用f

( a) 的连续性得
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 ( 2) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f 在cf,(3) 内可导 , f (0) (1) 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.

则称f 为I上的凸函数; 凹
若x1 x2 I, (0,1)有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
5.已知f ( x ) C[0,1], f ( x )在(0,1)内可导, 且f (0) 0, f (1) 1,证明: (1) (0,1), 使 f ( ) 1 (2) , (0,1), 并且 使 f '( ) f '() 1.
证明: (1)令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0
证明 反证法,由第1题!
若将第1题改为:
1''. 设f ( x )在R上可微,证明 f ( x ) 的两个 零点之间一定有f ( x ) f ( x )的零点.
提示:
F ( x) e x f ( x)
2. 设 f (x) 在 [0,1] 连续, 0 ,1) 可导,且 f (1) 0 , (
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当放大或缩小的技巧.
1. 研究函数的性态:
增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 . 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘.
两式相减, 注意到 f (0) f (1),
f ( x 0 )
则有
1 1 (1 ) x0 2 f ( 2 )(1 x0 )2 f 2 2
f ( x ) 1,
f ( x 0 ) 1 2 1 1 2 1 2 x0 (1 x0 ) ( x0 ) 2 2 2 4
3. 其他应用 : 证明不等式 ; 研究方程实根等.
(单调性, 极值,凹凸等方法)
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
在 I 上严格单调递增 在 I 上严格单调递减
又由 x0 [0,1] 知,
1 1 x0 , 于是有 2 2
f ( x 0 )
1 2
由 x0 的任意性, 可知命题成立 .
类似地, 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微 , 且 f ( x ) a , f ( x ) b, 其中a , b是非负数. b 证明 : x (0,1), 有 f ( x ) 2a . 2
f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 )
x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 ) f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
4. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
求证存在 (0 ,1) ,使
证明:设辅助函数 ( x) x n f ( x) 显然 (x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n

n1
f ( ) f ( ) 0
n

上连续, 在
证明至少存在一点
又零点定理, 0, F ( )=0, ( 1) 即f ( ) 1 .
(1)令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0 又零点定理, 0, F ( )=0, ( 1) 即f ( ) 1 .
内可导, 且 使
证明 第2题的特殊情况:n = 2!
3. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0)
1 lim f ''(a 1 h) lim f ( x 2 h) h 0 2 h 0 1 1 lim f (a ) f (a ), 又 f (a ) 0,得 lim . h 0 h 0 2 2
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