2)单位阶跃函数的频谱:
x 2 (t ) = lim e
α →0
−α t
x (t )
;
X2( f ) =
∫
+ ∞ −α t 1 − j 2πft x 2 (t )e − j 2πft dt = lim ⎛ dt ⎞ ⎜ ∫0 e e ⎟= α → 0⎝ ⎠ j 2πf
1.5 求被截断的余弦函数cosω0t（题图 1-2）的傅立叶变换。
(
)
da
dt
w.
2
⎧ cos ω 0 t ; x (t ) = ⎨ ⎩0 ;
t <T t ≥T
co m
当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象 1.8 求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0) 等式两边对 x 求导数：
解：
答 案
： x (t ) = e −αt sin ω 0 t ; 1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b） 解： − j 2πft
网
= T [sin c ⋅ θ 1 + sin c ⋅ θ 2 ]
ww
+∞ 0
1 − j 2πf 0t e + e j 2πf 0t e − j 2πft dt −T 2 ⎡ sin π ( f + f 0 )2T sin π ( f − f 0 )2T ⎤ =T⎢ + π ( f − f 0 )2T ⎥ ⎣ π ( f + f 0 )2T ⎦
)
1.7 设有一时间函数f(t)及其频谱(题图 1-3 所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。在 这个关系中，函数 f(t) 叫做调制信号，余弦型振荡 cosω0t 叫做载波。试求调幅信号 f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什 么情况？ 解： +∞ +∞
2
所以：
n = −∞
2 2 Cn = C nR + C nI =
相位频谱：
后
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2 求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms 解：
答 案
⎛ 2A ⎞ ⎧ π ⎜− ⎟ ⎪ − ; n = 1,3,5,⋅ ⋅ ⋅ CnI ϕ n = arctg = arctg ⎜ nπ ⎟ = ⎨ 2 CnR 0 ⎟ ⎪π ; n = −1,−3,−5,⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩2
A α + j 2π f
co m
ω
[
]
解:1) 符号函数的频谱: −α t 令: x (t ) = lim e x (t )
1
α →0
;
X 1 ( f ) = ∫ x1 (t )e − j 2πft dt
0 −α t + ∞ −α t − j 2πft dt + ∫ e e − j 2πft dt ⎞ = lim ⎛ ⎜ ∫−∞e ( −1)e ⎟ 0 α →0 ⎝ ⎠ 1 = jπ f
S = S1 ⋅ S 2 = 3 × 41 = 123
2.10 想用一个一阶系统作 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解： 由振幅误差
1 + (τω ) 1
2
2
当 ω = 2πf = 2π × 50 = 100π ，且 τ = 5.23 × 10 −4 s 时
o
答 案
当 T=2s 时， A(ω 2 ) = 0.67 ，误差为 33%
网
当 T=1s 时， A(ω1 ) = 0.41 ，即 AY = 0.41Ax ，误差为 59%
ww
( )
1 + (0.35ω )
2
=
⎛ 0.7π ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠
w.
2
A(ω ) =
1
1
kh
1 0.05s + 1
co m
1 ⎡ T ⎤ 1 2 Δt lim x ⎥ = lim ⋅ ⎢ Δx→0 Δx T →∞ T ⎦ Δx→0 Δx T ⎣ 2 dt 1 = ⋅ = 2 T dx π x0 − x 2 (t )
ω 2 = 100 ， A(ω 2 ) = 0.89 ， φ (ω 2 ) = −26.57 o
1 T0
∫
T0
0
x0 sin ωtdt =
xrms =
1 T0
∫
T0
0
x 2 (t ) dt =
1 T0
∫ (x
T0 0
sin ωdt ) dt =
1.3 求指数函数 x (t ) = Ae −αt ; (α > 0; t ≥ 0) 的频谱。 解：
X ( f ) = ∫ x (t ) e − j 2πft dt = ∫
3155072 的系统对正弦输入 (1 + 0.01 jω )(1577536 + 176 jω − ω 2 )
kh
da
×2
=
= 1.69 × 0.99 = 1.7
对正弦波， u x =
A 2
=
1.7 × 10 2
= 12
2.9 试求传递函数分别为
2 41ω n 1 .5 和 的两个环节串联后组 2 2 S 2 + 1.4ω n S 2 + ω n S 2 + 1.4ω n S 2 + ω n
−∞
[ f (t ) cos 2πf 0t ]⋅ e − j 2πft dt
+∞ ⎡1 ⎤ = ∫ f (t ) ⎢ e − j 2πf0t + e j 2πf0t ⎥ ⋅ e − j 2πft dt −∞ ⎣2 ⎦ 1 1 = F ( 2πf + 2πf 0 ) + F ( 2πf − 2πf 0 ) 2 2
网
2 a ⋅ ωn
(
课
∴ A(ω ) =
1 1 + (62.8 × 0.01)
2
ww
)
× 1 ⎡ ⎛ 62.8 ⎞ ⎤ 176 ⎟ ⎥ + ⎢1 − ⎜ ⎢ ⎝ 1256 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1577536
2 2
x(t ) = 10 sin (62.8t ) 的稳态响应的均值显示。
w.
2.8 求 频 率 响 应 函 数
sin ωt + 90 o − arctg (τω ) cos(ωt − arctgτω )
(
)
解： 写成标准形式
答 案
H (ω ) =
[ jω )2 + 2ξω n ( jω ) + ω n2 ] ( jτω + 1)(
2
后
(1256) 1 = ⋅ ×2 2 (0.01 jω + 1) − ω + 2 × 1256ξ ( jω ) + (1256)2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
kh
≈ 98.7%
da
即 A(ω ) =
1
= 95% ，
解： H (ω ) =
1 jτω + 1
=
1 Y (ω ) = 0.35ωj + 1 X (ω )
的装置后所得到的稳态响应。 解： 利用叠加原理及频率保持性解题
课
后
x(t ) = 0.5 sin 10t + 90 o + 0.2 sin 100t + 45 o
(
)
(
A(ω ) =
1 + (τω )
1
w.
4
co m
成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 解： H (ω ) = H 1 (ω ) ⋅ H 2 (ω )
H 1 (ω ) =
1 .5 3 ， S1 = 3 = 3 .5 S + 0 .5 7 S + 1
2 41ω n ， S 2 = 41 2 S 2 + 1.4ω n S + ω n
H 2 (ω ) =
网
A(ω ) =
ww
1
−4
1 + 5.23 × 10 × 100π
∴ 此时振幅误差 E1 = 1 − 98.7% = 1.3%
2.11 某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为 800Hz，阻尼比 问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时， 其振幅比 A(ω ) 和相角差 ϕ (ω ) ξ = 0.14 ， 各为多少？若该装置的阻尼比可改为 ξ = 0.7 ，问 A(ω ) 和 ϕ (ω ) 又将作何种变化？ 解： 作频率为 400Hz 的正弦力测试时
−∞
+∞
+∞
0
Ae −αt ⋅ e − j 2πft dt =
1.4 求符号函数（题图 1-1a）和单位阶跃函数（题图 1-1b）的频谱.
1
w.
2π
− jA jA 1 − jnπ A (1 − cos nπ ) + × e + e jnπ = − j nπ nπ 2 nπ 2A ⎧ ⎪ −j ; n = ±1,±3,±5,⋅ ⋅ ⋅ =⎨ nπ ⎪ n = ±2,±4,±6,⋅ ⋅ ⋅ ⎩ 0; =
2
=
1 1 + (0.005ω )
2
， φ (ω ) = −arctg (0.005ω )
ω1 = 10 ， A(ω1 ) = 1 ， φ (ω1 ) − 2.86 o