空间点、直线、平面之间的位置关系
一．基础知识：
1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。

（此定理常用来判断空间三线共点。

）
公理3：不共线的3点确定一个平面。

推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面
2. 平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。

注意：相交线和异面直线没有传递性。

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。

可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。

当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。

但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。

不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。

4、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。

（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。

（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。

两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。

异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b 是异面直线，经过空间一点O ，分别引直线a ˊ／／a , b ＇／／b,相交直线a ＇，b ＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b 所成的角θ∈0,
2π⎛⎤
⎥⎝⎦
，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。

5.异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b 所成的角为θ，在a,b 上分别取点E ，
F ，已知AB 为公垂线段，长度为d,BE ＝m,AF=n,EF=l 则l 侧为减，异侧为加）
5、直线与平面的位置关系：1）直线在平面内, 2）直线与平面相交， 3）直线与平面平行, 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

6. 直线与平面平行：
（1）直线与平面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。

（2）直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。

简称为“线线平行，则线面平行。

” 判定直线与平面平行的方法还有：1）,a a αβαβ//⊆⇒//面面，2）
,,b a b a a ααα⊥⊥⊄⇒//
（3）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。

7. 直线与平面垂直：
（1）直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。

（2）.直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

（3）直线和平面垂直的性质定理： 1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。

2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

8、平面与平面的位置关系：1）平行平面：没有公共点，2）相交平面：有且只有一条公共直线。

两个平面的公共点都在同一条直线上。

9两个平面平行：
（1）两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

简称为“线面平行，则面面平行”，2)推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

（2）两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。

3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。

10.两个平面垂直:
(1)两个平面垂直定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直。

（2）两个平面垂直的判定：1)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2）定义法（直二面角）
（3）两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。

11、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

12、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
利用法向量可处理线面角问题
设 θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπ
ϕ-=
2
（图1）或θπ
ϕ+=
2
（图2）
图1 图2
12、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。

设AB 是平面ａ的一条斜线，A 为斜足，直线m
是平面ａ内任一直线，AB ′是AB 在平面ａ内的射影。

θ为AB 和m 所成的角，1θ为AB 和射影所成的角，2θ射影AB ′和m 所成的角，则cos θ=cos 1θcos 2θ 重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为α≠2
π
，过空间一定点P 作直线L 与L1，L2所成的角都是β，这样的直线L 可作多少条？ 分析：（1）若β∈（0，α/2），则这样的直线L 有0条
（2）若β＝α/2，则这样的直线有1条
θ
ωα
l
v
n
ω
θ
α
v
l n
（3）若β∈（α/2，2
πα-），则这样的直线L 有2条
（4）若β＝
2πα-，则这样的直线L 有3条 （5）若β∈（2
πα
-，
2
π），则这样的直线L 有4条 （6）若β＝
2
π
，则这样的直线L 有1条 13、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为α-l-β, 一个平面垂直于二面角α-l-β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 叫做二面角α-l-β,的平面角。

一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是［0，180°］ 14.计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)。

(2)三垂线法 （3）垂面法 （4）射影面积法
（5）利用法向量可处理二面角问题
设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量
21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图3）或 ϕθ=（图4）
图3 图4
15.小结：
①证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；
ωθ
β
l α
n
n
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
②证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
③证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
④证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
⑤证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
⑥证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.。