3 3 1
3 2 3 3 t 2 x 2dx 0 t dt 2 2 4
n
4 2 0
6
被积函数中含有根式 ax b n N ，或同时含 n 有两个根式， x与m x m, n N 时，为了去掉根号 n n 相应地作变换 = ax＋b，即 x t b a ， p p 或 t x ，即 x t ，p为 m与 n的最小公倍数
称为定积分的分部积分公式.
x cos xdx 解：令 u x ， cos xdx dv，则v sin x，
例5：求
0
π/2
根据分部积分法公式，得

π/2
0
x cos xdx =

/2
0
xd (sin x)

2 0
x sin x

02 sin xdx

2 0


2
cos x
5、分部积分法求定积分
分部积分法是与微分学中乘积的求导法 则相对应的，它需注意积分的上下限，与不 定积分的分部积分法相类似. vx 在a, b上是连续函数， 设函数 ux ， 则
u ( x)dv ( x) [u ( x)v( x)]
a b a
b
b
a
v( x) du ( x)
(1)
a 0 a 0 a a
a a
例2：求下列各式的定积分
（ 1） x 1 x dx = 1
2
1
0
（ 2）
1 1
e e 2
x
x
1 dx = e e
4、换元法求定积分
换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来 简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元 积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的 上下限，这样可以简化计算． 设 f x 在 a, b上连续，x xt 满足 (1) x a, x b, a xt b, 且 t ；
1 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3
0
0
0
a x dx
2 2


4
被积函数分别含有根式 a 2 x 2 , a 2 x2 , x2 a 2 ( a 0) 1 时，为了去掉根号,相应地分别实 施弦换( x a sin t 或 x a cost)， 切换法( x a tan t 或 x a cot t )，
a
b
b a
(6) sin xdx cos x
a
b
b a
2、根据定积分的几何意义求值
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a
b
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方， 积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
上述曲边梯形面积的负值。
例 1：

1
1

3
0
2 5 2 2 x dx 2
1 x dx
2 f x 在区间 a, a上连续，则有下列积分 公式：
f x dx f x dx f x dx ； (2)当 f x 为奇函数时， a f x dx a0 ； f ( x ) dx (3)当 f x 为偶函数时， =2 。 f ( x ) dx 0 a
1 2
例6
解
计算

1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 d ln(1 x ) 2 x 2 x 0
t


练习巩固
1、求

a
0
2 1 a x dx a ln 2 2
2 2
2

2 1

2、求


1
2a a
2 2 a x a dx a ln 2 1 2 2
2 2
2


3、求
2
dx x x
3 2
6 1 2 3 6 3 3 2 6 2 6 ln 2
sec x cos x 1 csc x sin x
割换法( x a sect 或 x a csct )，统称为三角变换法
例4：求
3 3 1
2 x 2 dx
t3 2 3 2 x dx t dt ，当 x 1 时， 解：令 ， 2 2 t 0 ；当x 3 时， t2
人教版必修2—2
1、常用基本函数的定积分公式
(1)

b
b
a
kdx kx
b a
K为常数
b a
1 ( 2) x dx x 1 a 1

( 1)
b a
1 (3) dx ln | x | a x x b a x b ( 4) a dx a a ln a
b
(5) cos xdx sin x
' x (2) t 存在并在 , 上可积．则

b
a
f ( x)dx f ( x(t ))x＇ (t )dt
α
β
例3：求
a
解：应用定积分换元积分公式
设 x a sin t , dx a costdt, 当x 0 时， t 0 t ；当 x a时， 2 2 2 a 2 a sin 2 t a / 2 2 2 2 2 t a x dx a (cos t ) dt 2 2 0