2-1试建立如图 所示电路的动态微分方程。

解：输入u i 输出u ou 1=u i -u oi 2=C du 1 dt )- R 2(u i -u o )=R 1u 0-CR 1R 2( du i dt dt du oC ＋ - -i u o R 1R 2 i 1 i i 2u 1i 1=i-i 2 u o i= R 2u 1 i 1= R 1 = u i -u o R 1 dt d (u i -u o ) =C C d (u i -u o ) dtu o - R 2 = u i -u o R 1 CR 1R 2 du o dt du idt +R 1u o +R 2u 0=CR 1R 2 +R 2u i(a)i=i 1+i 2 i 2=C du 1dt u o i 1= R 2 u 1-u o = L R 2 du o dt R1i= (u i -u 1) (b)C＋-iu o R 1R 2i 1 ii 2Lu 1 = R 1 u i -u 1 u o +C R 2 du 1 dtu 1=u o + L R 2 du odt du o dt R 1R 2 L du o dt + CL R 2 d 2u o dt 2 = - - u i R 1 u o R 1 u o R 2 +C )u o R 1R 2 L du o dt ) CL R 2 d 2u o dt 2 = + +( u i R 1 1 R 11 R 2+(C+ 解：2-2 求下列函数的拉氏变换。

（1）t t t f 4cos 4sin )(+=（2）te t tf 43)(+= （3）tte t f --=1)( （4）t e t t f 22)1()(-= 解：(1) f(t)=sin4t+cos4tL [sin ωt ]= ωω2+s 2=s s+42+16L [sin4t+cos4t ]= 4s 2+16s s 2+16+s ω2+s 2L [cos ωt ]=解：(2) f(t)=t 3+e 4t 解：L [t 3+e 4t ]= 3!s 41s-4+ 6s+24+s 4s 4(s+4)=(3) f(t)=t n e atL [t n e at ]=n!(s-a)n+1(4) f(t)=(t-1)2e 2tL [(t-1)2e 2t ]=e -(s-2)2(s-2)3解：解：2-3求下列函数的拉氏反变换。

(1))3)(2(1)(+++=s s s s F (2) )2()1()(2++=s s ss F (3) )1(152)(22++-=s s s s s F (4) )2)(34(2)(2++++=s s s s s FA 1=(s+2)s+1(s+2)(s+3)s=-2=-1=2f(t)=2e -3t -e -2t(1) F(s)=s+1(s+2)(s+3)解：A 2=(s+3)s+1(s+2)(s+3)s=-3F(s)= 2s+31s+2-(2) F(s)=s (s+1)2(s+2)F(s)=-2e -2t -te -t +2e -t解：= A 2s+1s+2+ A 3+ A 1(s+1)2A 1=(s+1)2s (s+1)2(s+2)s=-1A 3=(s+2)s (s+1)2(s+2)s=-2d ds ss+2][A 2= s=-1=-1=2=-2(3) F(s)=2s 2-5s+1s(s 2+1)F(s)(s 2+1)s=+j =A 1s+A 2s=+jA 2=-5A 3=F(s)s s=0解：= s +A 3s 2+1A 1s+A 2=12s s 2-5s+1=A 1s+A2 s=j s=j-5j-1=-A 1+jA 2 A 1=1F(s)= 1s s 2+1s -5s 2+1++(4) F(s)=s+2s(s+1)2(s+3)解：=+s+1A 1s+3A 2(s+1)2+s A 3+A 4-12A 1= 23A 3= 112A 4= A 2= d [s=-1ds ](s+2)s(s+3) -34A 2= +3e 212-4+f(t)=-t 32e -3t-t e -t 1= s=-1 [s(s+3)]2[s(s+3)-(s+2)(2s+3)]t t t f sin 5cos 1)(-+=2-4 解下列微分方程 6)(6)(5)(22=++t y dt t dy dtt y d 初始条件：2)0()0(==yy A 1=1y(t)=1+5e -2t -4e -3tA 2=5 A 3=-4Y(s)=6+2s 2+12s s(s 2+5s+6)解：s 2Y(s)-sy(0)-y'(0)+5sY(s)-5y(0)+6Y(s)= 6ss 2Y (s )-2s-2+5sY (s )-10+6Y (s )= 6s= A 1s+2s+3+ A 3s + A 22-5试画题图所示电路的动态结构图，并求传递函数。

(1)+解：( U r (s)U c (s)=1R 11+(+sC)R21R 1+sC)R 2=R 2+R 1R 2sC R 1+R 2+R 1R 2sC(2)+C＋--u ru c R 1R 2Lu 1i 2i 1iI(s)U r (s)_1R 1U 1(s)解：I 1(s)-I 2(s)L 1=-R 2 /Ls L 2=-/LCs 2L 3=-1/sCR 1L 3Δ1=1L 1 L 3=R 2/LCR 1s 21CsU 1(s)U c (s)-1LsR 2R 2I 1(s)U c (s)L 1L 2P 1=R 2/LCR 1s 2U =R 1CLs 2+(R 1R 2C+L)s+R 1+R 2r (s)U c (s)R 22-6用运算放大器组成的有源电网络如图所示，试采用复数阻抗法写出它们的 传递函数。

解:电路等效为:U U IR 1O R 3SCR 2R 21SC ·＋1＋=－U －O=R 3＋SC R 2R 2＋1－∞△＋＋CR 1R2R3u i u oR 1+R 3+R 2R 3CS =－R 1(R 2SC+1)R 2R 3=－( + )R 1(R 2SC+1)R 11R 1R 2=－( +R 3)(R 2SC+1)=R 21R3R 2SC ＋＋R 1－2-8设有一个初始条件为零的系统，当其输入端作用一个脉冲函数δ(t)时，它的输出响应c(t)如图所示。

试求系统的传递函数。

c(t)tTδ解:c(t)=K (t-T)K T t-T C(s)=K (1-e )Ts 2-TS C(s)=G(s)2-9 若某系统在阶跃输入作用r(t)=1(t)时，系统在零初始条件下的输出响应为：t t e e t c --+-=21)(，试求系统的传递函数。

解:G(s)=C(s)/R(s)=(s+1)(s+2)(s 2+4s+2)C(s)=(s+1)(s+2)(s 2+4s+2)脉冲响应:2s +2=1+1s +1-c(t)=δ(t)+2e -2t -e -t2-10 已知系统的微分方程组的拉氏变换式，试画出系统的动态结构图并求传递函数)()(s R s C 。

)()]()()[()()()(87111s C s G s G s G s G s R s X --= )]()()()[()(36122s X s G s X s G s X -=)()]()()([)(3523s G s G s C s X s X -= )()()(34s X s G s C =解:X 1(s)=R(s)G 1(s)-G 1(s)[G 7(s)-G 8(s)]C(s)X 2(s)=G 2(s)[X 1(s)-G 6(s)X 3(s)]X 3(s)=G 3(s)[X 2(s)-C(s)G 5(s)]G 1G 2G 3G 5---C(s)-R(s)G 4G 6G 8G 7={R(s)-C(s)[G 7(s)-G 8(s)]}G 1(s)C(s)[G 7(s)-G 8(s)]G 6(s)X 3(s)X 1(s)X 2(s)C (s)G 5(s)X 3(s)G 1G 2G 5-C(s)-R(s)G 7-G 8G 1+G 3G 2G 63G 4G 1G 2G 3G 5---C(s)-R(s)G 4G 6G8G 7G -C(s)R(s)G 7-G 81+G 3G 2G 6 +G 3G 4G 51G 2G 3G 4C 1+G 3G 2G 6 +G 3G 4G 5+G 1G 2G 3G 4(G 7 -G 8)G 1G 2G 3G 4R (s )(s )=2-11 已知控制系统结构图如图所示，试分别用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数)()(s R s C 。

解：(a)解:(b)求系统的传递函数R (s )C (s )=1+G 1G 2H +G 1G 4HG 1G 2+G 2G 3+G 1G 2G 3G 4 H L 1=-G 1G L 2=-G 1G 4H P 1=G 1G 2Δ1 =1P 2=G 3G 2Δ=1+G 1G 4H+G 1G 2H Δ2=1+G 1G 4H(c)C(s)R(s)1+G 1G 2+G 1H 1–G 3H 1G 1G 2(1–G 3H 1)=H_G 1+C(s)R(s)G 2(d)解: (1)_G 1+C(s)R(s)G 2HG 2C(s)1+G 2H 1(G 1+G 2 )R(s)=(2)L 1L 1=-G 2H P 1=G 1Δ1 =1P 2=G 2Δ2 =1C(s)1+G 2H1(G 1+G 2 )R(s)= -_G 1+C(s)R(s)G 2G 3G 4(e)解: (1)_C(s)R(s)G 1+G 2G 3-G 4C(s)=R(s)1+(G 1+G 2)(G 3-G 4)(G 1+G 2)L 1L 2L 3L 4L 2=G 1G 4L 3=-G 2G 3L 4=G 2G 4(2)L 1=-G 1G 3P 1=G 1Δ1=1P 2=G 2Δ2=11+G 1G 3+G 2G 3–G 1G 4-G 2G 4=(G 1+G 2)C(s)R(s)_G 1+C(s)R(s)G 2(f)G _C(s)R(s)G 11-G 22C(s)G =R(s)1+1-G21G 1G 21+G 1G 2–G 2G 1(1–G 2)=解: (1)(2)L 1L 1=-G 1G 2L 2L 2=G 2P 1=G 1Δ1=1-G 2Δ=1+G 1G 2-G 2C(s)R(s)1+G 1G 2–G 2G 1(1–G 2)=2-12求图所示系统的传递函数)()(s R s C ，)()(s D s C 。

解：(a)D (s )C (s )C R (s )(s )L 1=G 2H 2L 2=-G 1G 2H 3Δ1P 1=G 1G 21-G 2H 2+G 1G 2H 3G 2G 1=R (s )C (s )L 1=G 2H2L 2=-G 1G 2H 3P 1=G 2Δ1=1P 2=-G 1G 2H 1Δ2=11-G 2H 2+G 1G 2H 3G 2(1-G 1H 1 )=D (s )C (s )(b)求:(C D s )(s )C R (s )(s )解:L 1=-G 1G 2L 2=-G 1G 2H Δ1=1P 1=G 1G 21+G 1G 2H+G 1G 2G 1G 2=R (s )C (s )P 1=G n G 2Δ1=1P 2=1Δ2=1+G 1G 2HD (s )C (s )1+G 1G 2+G 1G 2H=1+G n G 2+G 1G 2H2-13求图所示系统的传递函数)()(s R s C ，)()(s R s E 。