三角形中的最值问题
山东莘县观城中学 郭银生 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。

其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。

下面举例说明： 例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ）
A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα 和ccosα，
故 L =c+csinα +ccosα
=c+1.414csin(α+∏ /4 )
∵0<α<∏/2
∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A
解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。

L=a+b+2
2b a ＋≤）
＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 .
方法Ⅰ.（三角函数的有界性）
设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意
csinA+ccosA+c=1,即c=A
A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4
1 (当且仅当A=∏/4时取等号)
把A=∏/4代入①得c=211
＋
∴ S m ax =41*(2
11＋)2=4223－ 例3．已知圆o 的半径是R ，在它的内接⊿ABC 中，有2R(sin 2A-sin 2C)=(2a-b)sinB 成立，求⊿ABC 的面积S 的最大值。

解：根据题意得：
2R(224R a -224R c )=(2a-b)*R
b 2 化简可得
c 2=a 2+b 2-2ab, 由余弦定理可得：
C=45ο, A+B=135ο S=21absinC=2
12RsinA*2RsinB*sinC =2sinAsin(135ο-A) =2
2
R (2sin(2A+45ο)+1 ∵0<A<135ο ∴45ο<2A+45ο<315
ο ∴ 当2A+45ο＝90ο即A=15ο时，S 取得最大值22
12R ＋。

点评：（1）.对三角形面积S 的表达式得处理，也可利用积化和差公式，但这一公式在新教材中已不作要求。

（2）.利用余弦定理或正弦定理化角为边体现了化归转化思想。

例4．在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边是a,b,c, ⊿ABC 的外接圆半径R=3,且B C cos cos ＝B
C A sin sin sin 2— （1） 求B 和b 的值
（2） 求⊿ABC 面积的最大值 解：由已知B
C cos cos ＝B C A sin sin sin 2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB 即sin(B+C)= 2sinAcosB
∵A+B+C=∏ ∴sinA =2sinAcosB
∵sinA ≠0 ∴cosB=2
1 ∴B=60ο。

∵R=3, ∴b=2RsinB=23sin60ο=3,
故角B=60ο,边b=3
由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB
即9＝a 2+c 2-2accos 60ο
∴9＋ac= a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=b 时取等号)
即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)
∴三角形得面积s=
21acsin B ≤21*9*sin60ο=34
9 ∴三角形得面积的最大值是349 练习：⊿ABC 中，若AB=1,BC=2,则C 的取值范围是 （答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c
∴2sinA=4sinC ∴sinC =
21sinA ≤2
1 ∵0<C<A ∴0<C ≤30ο 解法2.cosC=ab c b a 2222－＋=b b 4142－＋=4
1(b+b 3)≥23,故0<C ≤30ο。