高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

求证：MN //平面BCE证明：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作MQ//AB 交BC 于QAB QMACCM =MQ NP EF NPBF BN =⇒=又 ∵ ⇒MQ AB NP //// MQPNBCEMN BCE PQ PQMN 面面////⇒⎭⎬⎫⊂例6、 βα//，线段GH 、GD 、HE 交α、β于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若GA=9，AB=12，BH=16，72=∆AEC S ，求BFD S ∆。

αβHCEAGBDF证明：FBDEAC BF AE H HA HE BD AC G GH GD ∠=∠⇒⎭⎬⎫⇒=⋂⇒=⋂////AC ∥BD219==⇒GB GA BD ACAE ∥BF2816==⇒HA HB AE BF434773sin 21sin 21=⋅=⋅⋅⋅⋅=∆∆B BD BF AAE AC S S BFDAEC∴96=BFD S立体几何每日一练基础部分线面平行问题（中位线）1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1。

2．如图所示，线段ＡＢ，ＣＤ所在直线是异面直线，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是线段ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点.(1) 求证：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面并且所在平面平行于直线ＡＢ和ＣＤ；(2) 设Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ和ＣＤ上任意一点，求证：ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分3.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.求证：MN ∥平面AA 1C 1.4.如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.5.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ ∥平面BCE.（三种方法）D 1C 1B 1A DP Q6. 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.7.设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的面ＡＡ１Ｄ１Ｄ、面A1B1C1D1的中心.证明：ＰＱ∥平面AA1B1BCDSQP线面平行问题（类中位线）1、如图，在正四棱锥S—ABCD中，底面ABCD的边长为a，侧棱长为2a，P、Q分别在BD和SC上，且BP:PD=1:2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长。

2、如图所示,已知正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ不共面，ＡＮ＝ＤＭ.求证：ＭＮ∥平面ＢＣＥ.3、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=ND，求证：MN∥平面AA1B1B.4、如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N 分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证：直线MN∥平面PBC；面面平行问题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．9．已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.9.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？A1A BC 1 CD 1DG E F立体几何中垂直问题证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等1、如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ， 求证：1AO ⊥平面MBD ．2、如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于3、如图所示，ABCD 为正方SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD5、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6、ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝1/2a，EC＝a．（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．7、如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC；8、如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD9、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．（二）立体几何中垂直问题 证垂直的几种方法： ①勾股定理②等腰（边）三角形三线合一③菱形对角线、矩形（含正方形）、90o ④相似三角形（与直角三角形） ⑤圆直径对的圆周角 ⑥平行线⑦射影定理（三垂线定理） ⑧线面垂直 ⑨面面垂直。

等1、如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =I ， ∴DB ⊥平面11A ACC ， 而1A O ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO A M +=，（勾股定理）∴1A O OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ， ∴1AO ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直2、如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． ∵平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交 于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．3、如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CFAB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥． 又CF DF F =I，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =I，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =I ，∴ AH ⊥平面BCD ．5、如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆Ｏ的直径， ∴ACBC ⊥．（直径对的圆周角）∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥． ∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ． ∵AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PBC ．6、ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝1/2a ，EC ＝a ．（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，（平行证共面） ∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′， ∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′ ∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ， ∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a． 又DB ＝21a ，∴PN ＝BD ． ∵PN ∥BD ，∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ， BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′， ∴PD ⊥平面ACC ′A ′， 而PD 平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′． （2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′， ∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23a ，AE ＝2a ．∴S △ADE ＝21×AE ×PD ＝21×246232a a a =⨯．7、如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．求证：AB ⊥BC ；【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ， ∴AH ⊥平面SBC ， 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ， ∴BC ⊥SB ，（射影定理） 又SA ∩SB=S ， ∴BC ⊥平面SAB ． ∴BC ⊥AB ．8、如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小； （2）求证：平面MND ⊥平面PCD（1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ，∴∠PDA=45°（2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CDAM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， ∴EA ∥MN ．∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，（平行证垂直） ∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ， ∵MN ⊂平面MND ， ∴平面MND ⊥平面PCD ．9、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值．（1）【证明】∵M 、N 、E 是中点， ∴M C NC N B EB 1111=== ∴︒=∠=∠45MNC ENB 11 ∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ， （角度度证垂直）又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂ ∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ． ∵MN⊂平面MNF ，∴平面MNF ⊥平面ENF ．（2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ． ∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影， ∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，（射影定理）∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求得MN=22a ，NH=33a ，∴tan ∠MHN=26NHMN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26．。