(
x
*
xk
)2
x * xk1 (x * xk )2
f (k )
2 f (xk )
令k ，由 f (x*) 0，
即可得结论。
思考题1 若 f (x*) ，0 Newton法是否仍收敛？
设 x* 是 f 的 m 重根，则令： f (x) (x x*)m q(x)
且 q(x*) 0
g(x) f (x) f (x) f (x)2
x *
* f(
)
k
x x x x k1
k
f '( )
xk
(
x
k
x*)
(m 1)q(xk) (xk mq(xk) (xk
x*)q '(x x*)q '(xk)
k
)
x x k1
k 1
*
m 1
lim lim k
k
*
m
x x k
k
Answer2: 线性收敛
注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
g(x) x f (x) f (x)
g(x*)
f (x*) f (x*) 01
f 2 (x*)
在x*的附近收敛
由Taylor 展开：
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x * xk )
f
(k
2!
)
(
x
*
xk
)2
x*
xk
f f
(xk ) (xk )
f (k )
2 f (xk )
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(
2!
) (Nxewtxon0 )2
迭代公式
0 f (x*) f (x0) f (x0)(x * x0)
x*
x0
f (x0 ) f (x0 )
x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
重复上述过程
作为第一次近似值
xk1 xk
保证Newton迭 代函数将[a,b]映
射于自身
保证产生的序列
{xk}单调有界
证明：以
f '( x) 0, f "( x) 0, f ( x ) 0 0
为例证明
将f(x*)在 xk 处作Taylor展开
0=f (x*)
f
(x
)
f
'(x
)(x*
x
)
f
"( k
)
(
x*
x
)2
k
k
k
x* x
f (x ) k
f (xk ) f (xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f (x0) f (x0)(x x0)
y
x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x2
x1 x0
牛顿法也称为切线法
x
x2
x1
f ( x1) f ( x1)
二、牛顿法的收敛性与收敛速度
（局部收敛性定理） 设 f (x)C2[a, b]，若 x* 为 f (x)
x0 x0 x✓0
x*
全局收敛性定理(定理4.7)：设 f (x)C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0； (2) 在整个[a, b]上 f (x) 0；
有根
(3) f (x)在 [a, b]上不变号 根唯一
(4) 选取初始值x0 [a, b] 使得 f (x0) f (x0) > 0； 则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到 f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的
| xk1 xk | 105
➢ 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706
➢ 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401
在[a, b]上的根,且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 U (x*)
使得任取初始值 x0 U (x*)，Newton 法产生的序列 { xk } 收敛到 x*，且满足
| lim k |
xk1 x* | xk x* |2
| 2
f |
(x*) | f (x*) |
至少平方收敛
证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法
f
"( k
)
(x*
x
)2
2!
k
k f '(x ) 2 f '(x )
k
k
k
xk 1
f "( k
2 f '(x
) )
( x*
x k
)2
xk 1
k
*
说明数列{xk}有下界 x
又
x1
x 0
f f
(x ) 0
'(x )
x 0
0
x
f (x ) x k x
？
k1 k f '(x ) k
k
故{xk}单调递减, 从而{xk}收敛.令 x lim k k
数值分析
非线性方程的牛顿法
(Newton Method of Nonlinear Equations )
内容提纲（Outline)
➢ 牛顿法及其几何意义 ➢ 收敛性及其收敛速度 ➢ 计算实例及其程序演示
一、牛顿法及其几何意义
基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化
取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:
q(x)[m(m 1)q(x) 2m(x x*)q(x) (x x*)2 q(x)]
[mq(x) (x x*)q(x)]2
| g(x*) | 1 1 1 m
Answer1: 有局部收敛性
思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？
f '(x) m(x x*) q( m1 x) (x x*)mq '(x)
| xk1 xk | 则终止迭代，取 x* ;否x则k k1=k+1，再转
步骤(2)计算
允许精度
最迭大次代迭数信代息
例题1
用Newton法求方程x ex 2 的0根,要求
迭代格式一： xk1 ln(2 xk )
迭代格式二： xk1
xk
xk exk 2 1 exk
取初值x0＝0.0,计算如下：
例题2
求函数 f x x3 10x2 19的.6正8x实1根0.944
精度要求： 106
用Matlab画图，查看根的分布情形
从图形中我们可 以看出：
➢ 在x=7和x=8 之 间有一单根；
➢ 在x=1和x=2 之 间有一重根。
➢初值x0＝8.0 时,计算的是单根, The
iterative number is 28,The numerical
对迭代公式两边取极限，得 f ( )
f '( )
三、计算实例及其程序演示
辅助工具: ➢VC程序设计语言 ➢Matlab数学软件
计算步骤
(1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f (x0)
(2) 按公式 xk1 xk 得新的近似值xk+定的允许精度，如果