第二讲 简谐振动模型【教学目标】1.掌握简谐振动模型一弹簧振子2.学习计算简谐振动模型→单摆的周期【知识点一】弹簧振子1、定义：物体和弹簧所组成的系统.条件(理想化) ： ①物体看成质点②忽略弹簧质量③忽略摩擦力2、回复力：指向平衡位置的合外力提供回复力。
左图：弹簧弹力提供回复力，小球的平衡位置为O ，在AB 两点间做简谐振动，振幅为OA=0B右图：弹簧弹力和重力的合力提供回复力3、周期：2m T Kπ= , 由振子质量和弹簧的劲度系数共同决定,与振幅无关。
★运动规律包含振幅与周期【例】如图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O 为平衡位置，则下列说法不正确的是（ ）A A→O 位移为负值，速度为正值B O→B 时，位移为正值，加速度为负值C B→O 时，位移为负值，速度为负值D O→A 时，位移为负值，加速度为正值【例】弹簧振子做简谐运动的振动图像如图2所示，在t1至t2这段时间内（ ）A 振子的速度方向和加速度方向都不变B 振子的速度方向和加速度方向都改变C 振子的速度方向改变，加速度方向不变D 振子的速度方向不变，加速度方向改变【例】同一个弹簧振子从平衡位置被分别拉开5cm 和2cm,松手后均作简谐运动,则它们的振幅之比A1:A2=______,最大加速度之比a1:a2=_____,振动周期之比T1:T2=______.★回复力【例】如图所示,物体A 放在物体B 上,B 与弹簧相连,它们在光滑水平面上一起做简谐运动.当弹簧伸长到最长时开始记时(t = 0),取向右为正方向,A 所受静摩擦力f 随时间t 变化的图象正确的是( )【例】如图所示，斜面体M 放在粗糙水平面上。
弹簧的一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m 相连，弹簧的轴线与斜面平行。
若物块在斜面上做简谐振动，斜面体保持静止，则斜面体对物块的摩擦力f 与时间t 的关系图象应是下图中的哪一个（ ）【例】光滑的水平面上放有质量分别为m 和m 21两木块，下方木块与一劲度系数为的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。
已知两木块之间的最大静摩擦力为，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）A B C D【针对训练】质量为M 的物体B 上放一质量为m 的物体A ，B 与弹簧相连，如图所示，它们一起在光滑的水平面上做简谐振动，振动过程中，A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为K ，当物体离开平衡位置的位移是x 时，A 、B 间摩擦力的大小是多少【针对训练】如图所示，物体A 置于物体B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B 相连，在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），始终保持相对静止。
则下列说法正确的是 ( )A A 和B 均作简谐运动B 作用在A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比C B 对A 的静摩擦力对A 做功，而A 对B 的静磨擦力对B 不做功D B 对A 的静摩擦力始终对 A 做正功，而A 对B 的静摩擦力始终对B 做负功【针对训练】如图所示，斜面体M 的底面粗糙，斜面光滑，放在粗糙水平面上。
弹簧的一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m 相连，弹簧的轴线与斜面平行。
若物块在斜面上做简谐运动，斜面体保持静止，则地面对斜面体的摩擦力f 与时间t 的关系图象应是下图中的哪一个（ ）★振幅与对称性【例】劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球(弹簧始终在弹性限度以内)，则下列说法中不正确的是( )A 球在运动过程中距地面的最大高度为2hB 球在上升过程中势能不断减小C 球距地面高度为h 时，速度最大D 球在运动过程中的最大加速度是kh ／m【例】如图所示，B 与弹簧固定，A 放在B 上，A 、B 的质量分别为1kg 、2kg ，现用力F 向下压A ，平衡后撤去F ，要使AB 在上升的过程中不分离，F 最大值为（ ）A 10NB 20NC 30ND 40N【例】如图甲所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m 的小球，从离弹簧上端高h 处自由下落，接触弹簧后继续向下运动．若以小球开始下落的位置O 点为坐标原点，设竖直向下为正方向，小球的速度v 随时间t 变化的图象如图乙所示．其中OA 段为直线，AB 段是与OA 相切于A 点的曲线，BC 是平滑的曲线，则关于小球的运动过程，下列说法正确的是（ ）A 0==A A a h x ，B 0=+=B B a kmg h x ， C g a kmg h x C C =+=，2 D g a k mg h x C C >+>，2 【例】如图所示，质量为的小球放在劲度为的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。
试求：（1）最大振幅A 是多大（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大答【例】如图所示，两木块质量分别为m 和M ，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平面上，将木块1压下一段距离后释放，它就上下振动.在振动过程中木块2刚好始终不离开地面（即它对地面的最小压力为零），求：（1）木块1的最大加速度. （2）木块2对地面的最大压力.【例】质量为M 的托盘内放有质量为m 的物块开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为K ，弹簧处于自然长，现放手让托盘向下运动，则当系统运动到最低点时的加速度和物块对托盘的压力【针对训练】如图所示，弹簧下端挂一质量为m 的物体，物体在竖直方向上做振幅为A 的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中（ ）A 物体在最低点时的弹力大小应为2mgB 弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C 弹簧的最大弹性势能等于2mgAD 物体的最大动能应等于mgA【针对训练】如图所示，质量分别为m A =2 kg 和m B =3 kg 的A 、B 两物块，用劲度系数为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45 N 的力把物块A 向下压而使之处于静止，突然撤去压力，则（ ）mM 1 2A 物块B 有可能离开水平面 B 物块B 不可能离开水平面C 只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面D 只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面【针对训练】如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，振幅为A ，（1）物体对弹簧的最大压力是物体重力的倍，则物体对弹簧的最小压力是多大（2）物体对弹簧的最大压力是物体重力的2倍，则物体对弹簧的最小压力是多大【针对训练】如图所示，竖直悬挂的亲弹簧下端系着两物体A 、B ，，，系统静止时弹簧伸长15cm ，若剪断AB 间的细绳，A 做简谐振动，其最大加速度和振幅是多少【针对训练】如图所示，在质量为m 0的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m (m 0>m )的A 、B 两物体，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A 、B 间的连线，A 将做简谐运动，当A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ） A m 0gB (m 0 - m )gC (m 0 + m )gD (m 0 + 2m )g★振动与动能定理【例】如图所示，一水平弹簧振子在光滑水平面上的B 、C 两点间做简谐振动，O 为平衡位置。
已知振子由完全相同的P 、Q 两部分组成，彼此拴接在一起，当振子运动到B 点的瞬间，将P 拿走，则以后Q 的运动和拿走P 之前比较有( )A Q 的振幅增大，通过O 点时的速率增大B Q 的振幅减小，通过O 点时的速率减小C Q 的振幅不变，通过O 点时的速率增大D Q 的振幅不变，通过O 点时的速率减小【例】如图所示为一个竖直放置的弹簧振子物体沿竖直方向在A 、B 之间做简谐振动，O 点为平衡位置，A 点位置恰好为弹簧的原长。
物体由C 点运动到D 点（C 、D 两点未在图上标出）的过程中，弹簧的弹性势能增加了，重力势能减少了.对于这段过程有如下说法正确的是： （ ）A 物体的动能增加BC 点的位置可能在平衡位置以上 CD 点的位置可能在平衡位置以上D 物体经过D 点时的运动方向可能指向平衡位置【针对训练】如图所示，一根轻弹簧左端固定，右端系一物块，物块置于摩擦不能忽略的水平面上。
现将弹簧压缩到A 点后释放，物块运动到B 点时速度变为零，O 为弹簧处于自然长度时的位置，AB 距离为x ０。
物块从A 到B 的过程中，弹簧弹力的大小F 、物块加速度的大小a 、物块速度的大小υ、物块和弹簧组成的系统机械能E 随物块的位移x 变化的图像可能是（ ）a υ FE m B A m【针对训练】如图所示,水平桌面上的轻质弹簧一端固定,另一端与小物块相连. 弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出). 物块的质量为m,AB =a,物块与桌面间的动摩擦因数为μ. 现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点,拉力做的功为W. 撤去拉力后物块由静止向左运动, 经O 点到达B 点时速度为零. 重力加速度为g. 则上述过程中A 物块在A 点时,弹簧的弹性势能等于12W mga μ-B 物块在B 点时,弹簧的弹性势能小于32W mga μ- C 经O 点时,物块的动能等于W mga μ- D 物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能【知识点二】单摆定义：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．振幅：OA=OB回复力：重力的分力gL T π2= L 为悬点到球心间的距离 ★运动规律 【例】一单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示,以下说法正确的是( )A t1时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小B t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小C t3时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大D t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大【例】如图所示，单摆摆球的质量为m ，做简谐运动的周期为T ，摆球从最大位移A 处由静止开始释放，摆球运动到最低点B 时的速度为v ，则（ ）A 摆球从A 运动到B 的过程中重力做的功为22mv B 摆球从A 运动到B 的过程中重力的平均功率为T mv 2C 摆球运动到B 时重力的瞬时功率是mgvD 摆球运动到B 时重力的瞬时功率是零【例】图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置.当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系.已知木板被水平拉动的速度为20cm/s ，图乙所示的一段木板的长度为，则这次实验沙摆的摆长为（取g =π2）（ ）A BC D【例】如图，两个单摆摆长相等，平衡时两摆球刚好接触.现在将摆球A 在两摆球所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两个摆球各自做简谐运动，以mA 和mB 分别表示两球质量，则( )A 如果mA>mB ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B 如果mA>mB ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C 无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置右侧D 无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置左侧【例】如下图所示，AC为一段很短的光滑圆弧轨道，其所对圆心角小于5°，D为AC上的一点，现将同一小球先后从C、D两点由静止释放，到达A点的速度分别为υ1、υ2，所用时间为t1、t2，则应有( )A υ1＞υ2，t1＞t2B υ1=υ2,t1=t2C υ1＞υ2,t1=t2 D υ1＞υ2,t1＜t2【针对训练】一单摆的摆长为40cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10 m／s2，则在1s时摆球的运动情况是（）A 正向左做减速运动，加速度正在增大B 正向左做加速运动，加速度正在减小C 正向右做减速运动，加速度正在增大D 正向右做加速运动，加速度正在减小【针对训练】如图所示，长度相等的两根悬线分别挂着刚性小球a和b，它们的质量分别为m1和的悬线与竖直方向的夹角为2°，b的悬线与竖直方向的夹有为4°.把两个小球由静止同时释放，那么( )A 两个小球第一次碰撞的位置在悬点的正下方B 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的右方C 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的右方D 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的左方【针对训练】一块涂有碳黑的玻璃板质量为2㎏,在拉力F作用下由静止开始竖直向上作匀变速直线运动,一个装有水平振针的振动频率为5Hz的同定电动音叉在玻璃板上画出了如图所示的曲线,测得OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm,则外力F=________N.【针对训练】如下图所示，将单摆小球从静止释放的同时，高出悬点O的另一小球B做自由落体运动，结果它们同时到达跟单摆的平衡位置C等高处，已知摆长为l，偏角θ＜10°，求：B球的初位置与单摆悬点之间的高度差h.★摆长与周期【例】有一个秒摆，摆球的质量为50克，当摆球的质量增加到100克时，它的周期是秒；当摆长增加3倍时，它的振动频率是赫兹。