2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
Ek
1 m 2 A 2 sin
2
2 (t
)
2 k
Ek
m
m2 k
o
t
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
二、谐振动的势能
Ep
1 kx 2
2
Ek E p
1 k[ A cos(t )]2
2
1 kA 2 cos2 (t ) o
表达式中的余弦函数的综量 (t )
而旋转矢量图
可直观地显示该综量
A t x
用图代替了文字的叙述 0 x t
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
A
x
oA
t π
意味
x A 2
3
< 0
x
21
•质点过平衡位置向负方向运动
0 0
2 sin 2 cos
/3 /3
3 5
0.33
合振动方程 x 2 7 cos( 3t 0.33 )
二、多个同方向、同频率谐振动合成
合成后仍为谐振动。
x A cos(t )
1、解析法：先将 x1,x2合成，再与x3 合成。…… 2、矢量合成法： x1,x2，x3 ……首尾相 接。
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
7π
6
7π 6k
m
引：
-
一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差 的两个谐振动的合成
质点同时参与两个振动，研究两 个同方向同频率的振动合成。
分振动 x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 ) 振动合成 x x1 x 2
合成后仍为谐振动，角速度不变。
x A cos(t )
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
圆频率 k 单位：rad/s
m 只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
m
F弹 x
ox
2.周 期 T 2 2 m
k
3.频 率 1 1 k T 2 m
x Acos t
A cos t π
二、物理模型与数学模型比较
谐振动
A
振幅
t+
初相 相位
圆频率
T 谐振动周期
旋转矢量 半径
初始角坐标 角坐标 角速度
圆周运动周期
三、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相
1.初始条件
t 0 x0 A v0 0
A A cos
cos 1 0
x oA
y
x
A
A 0
o
x
o
l
t
2.初始条件
x
t 0
x1 A1 cos( t 1 ) x 2 A2 cos( t 2 )
x2 2 cos( 3t / 3)
解：合成后不变， x A cos(3t )
A
A12
A
2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
42 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
tg
A1 A1
sin 1 cos 1
A2 A2
sin 2 cos 2
4 4
sin cos
t + 0 /2 3/2 2
x(t) A 0 -A (t) 0 -A 0 a(t) -2A 0 2A
0A A 0 0 -2A
初相(initial phase)是t = 0时刻的相位
(t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不 一定是开始运动的时刻)
反映t = 0时刻的振动状态(x0，0 )
要熟记典型 值所对应的振动情况和振动 曲线(如图)
相反，称反相
x
A1
A2
o
- A2
x1 x2
同相
x
A1
A2
T o
t
- A2
x1
反相
T t
x2
-A1
-A1
(a) 两同相振动的振动曲线
(b) 两反相振动的振动曲线
3.领先和落后
若 = 2-1> 0,则x2比x1较早达到正最大，称x2
比x1领先(或x1比x2落后)
领先、落后以 < 的相位角(或以< T/2的时间间隔) 来判断
l
o
x0 0 v0 0
0 A cos
cos 0
y
A
o
x
2 xA
o
t
/ 2 , 3 / 2
v0 A sin 0, sin 0取 / 2
3.初始条件
t 0
x
l
x0 A v0 0
o A
y
x
A A cos A
cos 1
A
o
xo
A
4.初始条件
x
l
取逆时针为 张角
T
正向，以悬点为轴，
只有重力产生力矩。
M mgl sin
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
M mgl sin
M
J
J
d 2
dt 2
J
d 2
dt 2
mgl
sin
当 5 时
sin
d 2
dt 2
mgl J
0
l
T
mg
d 2
dt 2
mgl J
0
J ml 2
T 2
2 2
T
2秒内的振动次数 (单位：1/S或rad./S)
x Acos(t ) Acos( 2 t ) Acos(2 t )
T
4、相位与初相φ
x A cos(t )
(t + )是t 时刻的相位
t时刻的相位反映t时刻的振动状态
由x =Acos(t + )
v A sin( t ) a A2 cos(t )
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
d 2
dt 2
g
l
0
令 2 g
l
d 2
dt 2
2
0
谐振动微分方程
圆频率
g
l
周期 T 2 2 l
g
与质量无关。
频率 1 1 g T 2 l
l
T
mg
简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交
替变化。
一、谐振动的动能
Ek
1 mv 2
2
x oA
1 m[A sin( t )]2
2、方便地比较振动步调
x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
A
2A
A
a
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
3、方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧
t
2
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化.
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
Ep
1 kA 2
2
cos2 (t
)
三、谐振动的能量
Ek E p
E
E
Ek
Ep
1 kA 2 2
o
t
•机械能守恒，谐振过程保守力作功。
•谐振能量与振幅的平方成正比。
旋转矢量
一、旋转矢量
将物理模型转变成数学模型。
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间
解：设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
o
x
设始末态位矢夹角为
t 0
因为 t
得 t
繁复的三角函数的运算用匀速
圆周运动的一个运动关系求得
用匀速圆周运动 几何地描述 S H V y
矢量 A 以角速度 逆时针
作匀速圆周运动，