2. 波函数（ or 几率幅） ψ
微观粒子 具有波动性
1925 年薛定谔 用物质波波函数描述 微观粒子状态
• 用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用
用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用
• 用用用用用用用用用用用用用用用用用用用 ψ 用用用用用用用用
•
用用用用用用
什么是波包？波包是各种波数（长）平面 波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个 空间，这是因为平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满 整个空间，这是没有意义的，与实验事实 相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子线度 （约 1 Å ）。
描写粒子状态的波函数 ，通常是一个复函数
错误看法 1
：
电子 源
“ 波由粒
子组成”
P
P
O
Q
感 光
屏
O
Q
认为波与如水波，声波一样是由分子密 度疏密变化而形成的一种分布。
此看法与实验矛盾，不能解释长时间单个电 子衍射实验
电 子 一 个 一 个 的 通 过 小 孔 ， 但 只 要 时 间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。 这说明电子的波动性并不是许多电子在 空间聚集在一起时才有的现象，单个电 子 就事具实有上波，动正性是。由 于 单 个 电 子 具 有 波 动 性，才能理解氢原子（只含一个电 子！）中电子运动的稳定性以及能量量 子化这样一些量子现象。
波 由 粒 子 组 成 的 看 法 夸 大 了 粒 子 性
错误看法 2 ：“粒子由波组成”
电子是波包：把电子波看成是三维空间中连 续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和 衍射等波动现象。认为波包的大小即电子的 大小，波包的群速度即电子的运动速度。
1. 波粒二象性及几率概念
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和 能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平
(r, t ) 面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
问题？
(1) 怎样描述粒子的状态 ？
(2) 如何体现波粒二象 性？
(3) 描写的是什么样的
为 使 平 面 波 与 粒 子 对 应 起 来 而 找 出自 由 粒 子 的 波 函 数 ， 利 用 德 布 罗 意 关 系 并 注 意k到 的
方向代表自由粒子波的方向，则得到自由粒 子的波函数：
3. 玻恩的统计解释：
几率解释 , 是量子力学基本原理之一，系基本假设
自由粒子的波函数表示波在时间和空间上是无限展延 的，那么究竟代表什么呢？
曾有人设想粒子是由许多波组合起来的一个波包，其活 动表现出粒子的性质，但被否定了。因为组成波包的不 同频率的波在介质中速度不同，这样的“波包”在介质 中会逐渐扩展而消灭。但实验中观察到的电子不会在介 质中消灭。此外波可在介质界面发生反射和折射，但一 粒电子是不可分的。
另一个设想认为粒子是基本的，波只是大量粒子分布密 度的变化。但电子的双缝干涉实验明显地表明了粒子具 有波动性，而且波动性是各个粒子具有的性质。
1 ） ψ 是描述粒子的量子状态的函数
• 波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程。 如有大量的粒子，那么某处粒子的密度就与此 处发现一个粒子的几率成正比。（可与光进行
粒子意味着 2. 有确定的运动轨道，每一时刻有
一定的
h
位置和速度。
经典概念中 1. 实在的物理量的空间分布作周期性的 变化 ;
波意味着 2. 干涉、衍射现象，即相干叠加性。
关于电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒 性，长时间亦显示衍射图样。 2. 入射电子 流强度大，很快显示衍射图样。
离， θ 是 r 和 rn 的夹角
较为方便的复数形式为
e ：
2i(tr cos )

0
一般用k 代表波的
前进方向，故上式可
写成：
量子力学中
e 的一般形式

e2i(tkr ) 0
2i( kr vt )

0
以上是用指数形式表示的沿任意方向传播的平 面波函数
• 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是 波？
• “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不 是经典的粒子也不是经典的波。也可以 说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒 子和波动二重性矛盾的统一。” 这个 波不再是经典概念的波，粒子也不是经 典概念中的粒子。
经典概念中 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性” 的属性 ;
如电子落入中区的几率是完全确定的，为 75% 。 又如处于能级宽度为△ E 的微粒的寿命为△ г ，在 △ г 时间内粒子何时衰变 ( 或跃迁 ) 完全不确定，但 衰变几率是完全确定的。
波粒二象性必然导致统计解释，统计性将波和粒子 这 两个不同的经典概念联系起来。爱因斯坦于 1917 年引入统计性用于光辐射，而对于物质波，则是玻恩 在 1927 年提出德布罗意波的几率解释。
用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用用
2
一个自由粒子的波
自由粒子不受力， p 和与其相联系的 λ 也不变，是单
色波。
平 面 单 色 波 表 示 为 ：

0
cos

(t

rn v
)

0
cos
2
(vt

r
cos
)
式中 ω 、 v 、 t 分别表示 角频、波速和时间， rn 是原点到波面的垂直距
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者
是一个电子在许多次相同实验中的统计结果
。
P
P
O
电 子 源
感 Q光
Q
屏
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此 基础上，玻恩（ Born ） 提出了波函数意义的统计解 释。 在单缝衍射实验中，电子的位置和动量至少有一 个是不确定的，无法精确地预知电子落在屏的何处。 但在不确定性中又有完全的确定性，
§3-4 波函数及其统计解释
德布罗意引入物质波，物质波需用 波函数 Ψ(r¸t) 描述。物质波的波函数代表什 么物理意义。 1926 年玻恩提出波函数的几 率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒 子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几 率幅。这个假设得到散射实验的支持，取得 了人们认可，玻恩因此获得 1954 年诺贝尔