极昼区正午太阳高度和子夜太阳高度公式的证明.
极昼区的正午太阳高度角（H ）和子夜太阳高度角（H 最小）可以用
下面公式求得。

(φ为当地纬度。

δ为当天太阳直射点的纬度)
我们用两种方法证明：
法一：太阳视运动图法
如图１（１）所示，北半球某极昼区某日太阳视运动图，Z 为天顶，P 为北天极，ESWNO 所在平面为地平圈，AEBWO 所在平面为天赤道，Ｏ为地心，CD O ′平面切天球的圆为该天太阳在天球上的运动轨迹，它平行赤道平面，是天球上的纬线圈。

图１（2）为简图，∠AOC ＝δ，∠NOP ＝φ , ∠SOC ＝Ｈ，∠NOD ＝H 最小。

我们用图1（2）来推导一下上面的公式：
H ＝90°－（φ－δ） H 最小＝φ＋δ―90°
如图所示∠AO C＝∠BO D＝δ，∠CO S＝H，
∠ZO A＝∠NO P＝φ（等量代换）
∠ZO A＝∠Z′O B＝φ（对角相等）
∠PO A＝90°（天轴垂直天赤道平面）
∠ZO S＝90°（天顶垂直地平圈）
H＝∠ZO S－∠ZO C
＝90°－(∠ZO A－∠AO C)
＝90°－(φ－δ)
H最小＋∠NO Z′＝∠DO Z′
H最小＋90°＝∠Z′OB＋∠BO D
∴H最小＝φ＋δ－90°（等量代换）法二：地球剖面图法
如图3所示，太阳直射点在北半
球δ时，（90°N－δ）以北地区为极
昼,图中A点(纬度φA )位于极昼地
区，此时A点的太阳高度为子夜的
太阳高度，是一天中最小的太阳高
度即H最小，A′点的太阳高度为正午
太阳高度角（H），A与A′点同纬
度。

现来探讨H最小、H与φ、δ之
间的关系。

证明：（1）已知直射点δ，H
δ＝90°，
∵ OC∥AE（太阳光线平行）
∴∠EAO＋∠COA＝180°…①（同旁内角互补）
又∵AB是A点的地平线 AO⊥AB
∴∠EAO＝90°＋H最小…②
∵δ＋∠COA＋φA＝180°即：∠COA＝180°―δ―φA…③
将②③代入①得 90°＋H最小＋180°―δ―φA＝180°即：H最小＝φA＋δ―90°
（2）已知 A′Ｅ′∥OC
∴∠A′Ｅ′O＋∠CO A′＝180°（同旁内角互补）
又∵∠CO A′＝φA′―δ,
∠A′Ｅ′O＝H＋90° (A′B′⊥A′O)
∴ H＋90°＋φA′―δ＝180°（等量代换）
即：H＝90°－（φA′－δ）
南半球出现极昼时，极昼区的正午太阳高度角（H）和子夜太阳高度角（H最小）的求法与北半球类似。

依据上述公式还可推出，极地点极昼时H＝H最小＝δ；正好发生极昼的地区的纬度与δ为同半球且互为余角，H最小＝0°，H＝2δ。

证明后，上述公式在解题中可直接运用。

例1：图4为A地某天太阳沿经线照射的
示意图，求A地的纬度φA和太阳直射点的纬
度δ
解析：依题意得知，A地这一天沿经线
南北方向上都有太阳照射，说明A 地这一天处于极昼时期，北边的太阳高度大，为正午太阳高度H A ；南边的太阳高度角小，为子夜太阳高度H 最小，且A 地位于南半球。

依公式列出方程组
例2：图5为某地太阳视运动示意图，
求该地φ和这天的δ。

解析：依题意得知，该地全天太阳都
在地平圈上，说明该地处于极昼时期，
南边的太阳高度最大，为正午太阳高度
H ；北边的太阳高度最小，为子夜太阳高度
H 最小，且该地位于北半球。

依公式列出方程组
H ＝90°－（φ－δ）
H 最小＝φ＋δ―90°
35°＝90°－（φA －δ） 5°＝φA ＋δ―90°
解之得
φA ＝75°S
δ＝20°S。