2 t
由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变 （微分方程的解） 换 图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足 初值条件x(0)=3的解． 解 第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换 后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步 求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分 方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式
1 7 4 3 Y 3 p1 p1 p 2
再取拉氏逆变换，就得到满足所给初
值条件的方程的特解为
换．设 L[ y(t )] Y ( p) Y ，则得
2 [ p Y py(0) y(0)] 3[ pY y(0)] 2Y p1 将初值条件 y(0) 2，y(0) 1 代入,得到
2
Y 的代数方程
2
2 ( p