MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。

其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0则称()x S 为三次样条插值函数。

三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。

这就需要推导三次样条插值公式：记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。

在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。

为了得到这个公式需要n 4个条件：(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()nn m x S m x S ='=' 00○2()()αα=''=''nx S x S 00 ○3()()()()16500403βααβαα=''+'=''+'n n x S x S x S x S○4n y y =0 ()()()()000000-''=+''-'=+'nn x S x S x S x S 其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i ,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。

()⎩⎨⎧=≠='j i j i x j i,1,0β ，i m 为对应变量的一阶导数。

其推导过程如下： 为了确定i m 的值，把()x S 展开为：()()()[]()()[]131232122+++-+-+-+-=i ii i i i ii i i y h x x h x x y h x x h x x x S+()()()(),1212221+++--+--i ii i i ii i m h x x x x m h x x x x这里i i i x x h -=+1，对()x S 连续求两次导，得：()()()i i ii i i ii i i ii i y y h x x x m h x x x m h x x x x S --++--+--=''+++++1311212126246426。

于是考虑()x S ''在节点i x 处的右极限值，得： ()()i i ii i i i i y y h m h m h x S -+--=+''++1216240。

同理，在相邻小区间[]i i x x ,1-上可得()x S ''的表达式为：()()()1211211121126246426----------++--+--=''i i i i i i i ii i i ii y y h x x x m h x x x m h x x x x S及()x S ''在节点i x 处的左极限值为：()()1211116420-------+=-''i i i i i i i i y y h m h m h x S 。

利用()x S 二阶导数于节点i x 处的连续性条件()()00-''=+''i i x S x S ，这里1,2,1-⋯⋯=n i ，有下式成立：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++---211211111311121i i i ii i i i i i i i i h y y h y y m h m h h m h ，用i i h h 111+-除等式两边，并注意[]11,,++=-=i i iii i i x x f h y y f y ，上式可简记为： (),1,2,1211-⋯⋯==+++-n i g m m m i i i i i i μλ 且[][]()11111,,31+----+=+=-=+=i i i i i i i ii i i i i i i i x x f x x f g h h h h h h μλλμλ最后求得n m m ⋯⋯1的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯----n n n n n n n n g g g g m m m m 1211211122112000200000020002 λμμλμλλμ (**) 通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。

得出来的表达式就可以用MATLAB 软件来求解。

具体求解过程如下：已知n 对数据点()()()(),,,,,,,,332211n n y x y x y x y x ⋯⋯，假设函数关系为()x f y =，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式()x g y =，使()n i x i ,,3,2,1⋯⋯=，满足关系()()i i x f x g =。

例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。

分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用MATLAB 软件来求区间[]5,1上间隔为0.5的各点的值。

求解过程如下：因自然样条插值函数的边界条件为()(),00=''=''n x S x S这里3=n ，故确定3210,,,m m m m 的方程组形式形如上面的(**)式，其中系数i i μλ,和i g 可按如下步骤进行：;14524,112:210=-=-==-=h h h h i;31,32:21221011=+==+=h h h h h h i λλλ[][]()[][]()[][].62,3;62,3;27,,3;29,,3:;321,311:3232300100212322210121112211-=''+==''-=-=+==+==-==-=y hx x f g y hx x f g x x f x x f g x x f x x f g g i i λμλμλμλμμ将上述参数带入(**)式，得到以下方程组：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡627296210032231003123200123210 m m m m 解得：.89,45,47,8173210-=-===m m m m 由公式()()()[]()()[]131232122+++-+-+-+-=i ii i i i ii i i y h x x h x x y h x x h x x x S+()()()(),1212221+++--+--i ii i i ii i m h x x x x m h x x x x可知，()[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-++-=5,4,334103845834,1,14782812323x x x x x x x x x S由所求出的表达式可知区间[]5,1可分为[][]5,44,1⋃，对两个区间分别用MATLAB 命令即可：针对第一个区间：147828123-++-=x x x y ; 其图像如下0.511.522.533.5xy命令如下：x=1:4;y=(-1/8)*x.^3+(2/8)*x.^2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4; y1=interp1(x,y,xi,'spline') 其运行结果如下： y1 =Columns 1 through 60.8750 1.7656 2.5000 2.9844 3.1250 2.8281Column 72.0000 针对第二个区间：33410384583223-+-=x x x y（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。