?
t2 t 2
1
L t22Ltdt s
dt
1 s2
1 s
t2 2
1 s3
t0
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（4）位移定理 L f(t0 ) e τ 0 sF (s)
证明：左0f(t0)etsdt
令 t 0
f( )es(0)d e0s f()esd 右
0
0
0 t 0
例5 ft1 0t a, 求F(s)
0 t a
解. f(t)1 (t)1 (ta)
L f ( t ) L 1 ( t ) 1 ( t a ) 1s
ea
s
1 s
1
e as s
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（5）初值定理 lim f(t)lim sF(s)
t 0
s
证明：由微分定理 d(ft)estd tsF(s)f(0)
零初始条件下有：
Lftd
t1Fs
s
进一步有：
L ftdn t s 1 nF s s 1 nf 1 0 sn 1 1f 2 0 1 sf n 0
n 个
例3 求 L[t]=? t 1tdt
解.
L tL1 td
t
1 s
1 s
1 s
t
t0
1 s2
例4
解.
求
L
t2 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 拉普拉斯变换有关知识 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图及其等效函数 §2-4 典型环节的传递函数 §2-5 自动控制系统的传递函数 §2-6 MATLAB应用
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
（1）线性性质 L a f 1 ( b tf 2 ( ) t a F ) 1 ( s b F 2 ( )s)
（2）微分定理 L ft s F s f0

证明：左 ftestd t estdft e-stf t 0 ftdest
0
0
0
0-f0s ftestdtsF sf0右
0
f n t s n F s s n 1 f 0 s - n 2 f 0 - s n 2 0 f f - n 1 0
模 Fs Fx2Fy2 相角 FsarctaFny
Fx （3）复数的共轭 F(s)Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L [f(t) ]F (s)f(t)etd s t 0
F
f
(s) (t)
像 原像
uC(t)C 1i(t)dt,(2) （两边求导）
i(t) C duC(t) dt
由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
L Cd2 d u tC 2(t)R Cdu d C t(t)uC(t)ur(t)
根据上述的例子，可以得到列写系统微分 方程的一般步骤：
1）确定系统的输入、输出变量；
2）根据已知的电学、物理或化学定律，写出系统 过程的微分方程；
0 dt
lim d(tf)e std tlis m F (s)f(0 )
s 0 dt
s
左 d(ft)lim estd t 0 0 dt s
l s ism F (s ) f(0 ) 0
f(0 ) lt i0m f(t) ls i s m F (s)
3 常见函数的拉氏变换
（1）单位阶跃信号 数学表达式
时间波形
由拉氏变换定义式
单位阶跃信号的导数
（2）单位斜坡信号 数学表达式
时间波形
由分部积分公式
（3）等加速函数 f(t)
数学表达式为
f
(t
)
1 2
t
2
t≥0
0 t 0
其拉氏变换为
O
t
F(s) L [ f (t)] f (t)estdt 1 t2 estdt
§引言 •数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
• 表达形式 • 时域：微分方程、差分方程、状态方程 • 复域：传递函数、动态结构图 • 频域：频率特性
0
02
1 s
1 2
t2est
0
0
t
estdt
1 s
0
0
1 s2
1 s3
（4）指数函数e-at
数学表达式为
eat t≥0(a为实数) f(t)
0 t0
其拉氏变换为
F(s) L
eat
eatestdt
0
e(sa)tdt 1
0
sa
（5）正弦函数
0
t 0
f(t)sinωt t0
Lf( t )sin te sd t t1ej t ej t e sd t t
0
02j
1
e-(s-)jte(sj)tdt
0 2j
2 1 j s 1 j e( sj)t 0s 1 j e( sj)t 0
2 1 j s 1 js 1 j 2 1 js2 2 j 2s2 2
（6）单位脉冲信号 数学表达式
时间波形
令 所以
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
4 拉氏变换的几个重要定理
0初条件下有： L fn t s n F s
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
例1 求 L(t)?
解. t1t
L δ t L 1 t s1 10 101 s
例2 求 L cost)(?
解. cost1snit
Lc
ost 1Lsn it
1
s
s2
2
s2
s
2
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（3）积分定理 L ftd t1 sF s1 sf-10
线性系统
拉氏
傅氏
变换
变换
传递函数
微分方程
频率特性
建立数学模型的一般方法(举例)
例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容 上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为
输入变量的运动方程。
R
L
ur(t)
i(t) C
uc(t)
依据：电学中的基尔霍夫定律 ur(t)R i(t)Ldd i(tt)uc(t),(1)
3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方 程；
4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有 关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 sj
复函数 F(s)F x(s)F y(s)
例1 F (s) s 2 2 j
（2）模、相角