16/9/21 旋转构图，聚拢条件（1）姓名：
1.正三角形类型
在正ΔABC中，P 为ΔABC内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转 600，使得AB 与 AC 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP 也为正三角形。

例 1. 图 1-1 ，设 P 是等边Δ ABC 内的一点， PA=3 ， PB=4 ， PC=5，求∠ APB 的度数解：将△APC 绕 A 点逆时针旋转60°，使得AC与AB重合并连接 PP'，
2.正方形类型
在正方形 ABCD 中，P 为正方形 ABCD内一点，将ΔABP绕 B 点按顺时针方向旋转 900，使得 BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中
的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。

例 2. 如图（ 2-1 ）， P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、 B 、C 的距离分别为
PA=1，PB=2，PC=3。

求∠APB 的度数。

图 2-1
3.等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900 , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向
旋转 900，使得 AC与 BC 重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP' CP为等腰直角三角形。

例 3．如下图，在Δ ABC 中，∠ ACB =900， BC=AC ，P 为Δ ABC 内一点，且 PA=3， PB=1 ，PC=2 。

求∠ BPC 的度数。

解：
练习：
在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点 O 为Rt△ABC 内一点，连接 A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，
（1）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点 B 为旋转中心，将△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到 A、O 的对应点分别为点A′、O′），（2）分别求∠A′BC、
OA+OB+OC 的大小。

16/9/23旋转构图，聚拢条件（2）姓名：
例 1．如图，已知E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分
∠ABE．
求证：BE=AF＋CE．
例 2 ．如图，正方形 ABCD 中，∠EAF=45 , 当∠EAF 绕点 A 旋转时，分别交 BC、 CD 于点
E 、 F，
变式1】如上图，已知正方形 ABCD 中，∠EAF=45, 当∠EAF绕点 A 旋转时，分别交 BC、CD 于点 E、F，如果正方形的边长为1，求△EFC 的周长．
变式2】如图3，设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=45，AP⊥EF 于点P，（ 1）求证：AP=AB，（2）若AB=5，求ΔECF的周长。

变式 3】如图，正方形ABCD 的边长为1，BC、CD上各有一点 E、F，如果△EFC 的周长为 2，
求∠EAF 的度数．
E
变式 4】（09 广州）如图 12，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。

（1）若 AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
变式5】（ 09山东济宁）如图，在坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在
y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y = x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y = x于点M，BC边交x轴于点N .
1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
y
2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形
OABC旋转的度数；
3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC
的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
C
16/9/23 图形的旋转》专项练习 1 姓名：
1．如左1 图，如图 3，等腰直角△ABC 绕直角顶点A 按逆时针方向旋转 60°后得到△ADE ， 且 AB ＝1，则 EC 的长为 ____
2.如左 2 图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C′的位置， 如果 BC ＝2，则 BC ′＝
. 3.如左3图，在△ABC 中，以AB 、AC 为边分别作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF ， 则 CD
与 BF 的关系是 ( ). (A)相等但不垂直 (B)垂直但不相等 (C)相等且垂直 4．如左 4 图,四边形 ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，
6．如图，△ABC 的直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合， 如果 AP=3，求 PP′的长．
(D)没有任何关系
若线段 AE=5，
AE ⊥BC 于 E ， 的位置，使 B 在斜边 A ′B ′上，A 'C 与AB 相交于点 D ，
5． 如下中图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°
D
7．如左1 图图，在正方形 ABCD中，AD=1，将△ABD 绕点 B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与 CD 交于点 E，则 DE 的长度为．
8．如左2图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1 与 CD 交于点 O ，则四边形 AB1OD 的面积是（）
A．B．C．D．
9．如左 3 图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C 可以由△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）
A．6 B．4 C．3 D．3
10．如左 4 图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60°
11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C
按顺时针方向旋转 n 度后，
得到△DEC，点 D 刚好落在 AB边上．
1）求 n 的值；
2）若F 是 DE的中点，判断四边形 ACFD 的形状，并说明理由．
12．如图，已知Rt△ABC 中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点 B 顺时针
旋转90°至△DBE 后，再
把△ABC 沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点 H．
1）判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；
2）连结 CG，求证：四边形 CBEG是正方形．
的位置，连接C′B，则
C′
B 的长为（
到△AB′C′
A．B．
）。