毕业论文学生姓名林文强学号********* 学院数学科学院专业数学与应用数学题目复变函数在中学数学中的应用熊成继指导教师（姓名）（专业技术职称/学位）2013 年 5 月毕业论文独创性声明本人郑重声明：本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。

其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：日期：摘要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。

将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。

例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。

运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。

关键词：复数；代数；几何；三角函数Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics.Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve.For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex ing the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students' creative thinking. Keyword:Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function目录1 引言 (6)2 预备知识 (8)2.1 复数的形式 (8)2.2 复数的代数性质 (8)2.3 复数的几何意义 (9)3 复数的应用 (10)3.1 复数的代数应用 (10)3.2 复数的几何应用 (12)3.3 复数的三角函数应用 (17)结论 (20)参考文献 (21)要的意义。

不仅在解决堤坝渗水问题中起到了重要的作用，而且为建立巨大水电站提供了重要的理论依据，并且在证明机翼上升力的基本定理中也起到了重要的作用。

复数内容在高中教材引入之后为学生解决数学问题提供了一种新的工具，使学生借助这一工具解决以前许多不能解决或者不好解决的问题。

也因此复数得到了越来越多的学生和老师的关注。

因此越来越多关于复数的应用的文章发表。

例如：李平兰曾发表《复数在代数与几何的应用》并在其中讨论了关于复数在代数不等式，三角函数，几何题方面的应用。

本文从中得到许多启发。

刘绛玉，石宁，许景彦在一起发表的《复数的几何意义及其应用》中重点介绍了复数的几何意义以及复数在几何方面的应用。

还有许多关于复数的应用的文章在这里就不一一介绍了。

然而这些文章大部分都只是介绍了复数在中学数学中的某一方面的应用。

所以本文旨在中学生已有的知识基础上，综合借鉴前人的文章，尽可能的全面的讨论复数在中学数学中的应用。

其内容包含了复数在代数、三角函数以及几何上的应用。

本文将在中学生已有的知识的基础上，主要是介绍复数在中学数学上的应用。

全文阐明复数的意义及其性质的基础上，首先讨论了复数在解代数问题中的应用，重点的复数的模的性质的应用运算上。

然后借助复数运算的几何意义，给出了复数在几何上的应用。

最后是运用了复数的三角形式及性质，说明了复数在三角函数上的应用。

2 预备知识复数（Complex Number ）为形如bi a +的数。

式中a ，b 为实数，i 是一个满足12-=i 的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i 不是实数，而是实数以外的新的数。

在复数bi a +中，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。

由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

复数内容在高中教材中引入之后，使学生对数的概念已初步形成了较完整的认识。

而且复数知识沟通了代数，三角，几何之间的有机联系，这样又为学生解决数学问题提供了一种强有力的新工具，借助这一工具使以前许多不能解决或者较难解决的问题顺利的解决。

2.1复数的形式2.2 复数的代数性质一、 复数模的性质2.3 复数的几何意义复数本身的几何意义在任一复数bi a z += 和复平面上的点或由原点出发的向量OZ 是一一对的 关系，而复数的模则对应此点到原点的距离或有向线段OZ 的长度[]2。

加减运算的几何意义21z z ≠0时，z 1所对应的向量为OZ 1,2z 所对应的向量为OZ 2。

则21z z +所 对应的向量是以OZ 1,OZ 2为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ （如图1）.12z z -乘除运算的几何意义复数()1111sin cos θθi r z +=所对应的向量为OZ 1 ，复数所对应的向量为OZ 2。

()1111sin cos θθi r z +=则21z z z ⋅=所对应的向量为把OZ 1按逆时针方向旋转θ2度（θ2<0，则按顺时针方向转动2θ），再将1z 的模变为原来的2r 倍（如图3）。

同上z=21z z 所对应的向量为把OZ 1按顺时针方向旋转θ2度（θ2<0，则按逆2r 倍（如图4）[]3。

3 复数的应用 3.1 复数的代数应用OXY z1z 2z一、复数证明不等式运用复数的模的一些基本性质证明实数不等式，对于一些较为复杂的不等式给出较为简单的证明。

例1 设1a ，2a ，1b ，2b 为任意实数，证明：11b a +22b a ≤2221a a +2221b b +。

分析 这道不等式证法很多，用复数模的性质则极其简单。

证明 令Z 1=21ia a +，212ib b Z -=。

则有213Z Z Z ==()21ia a +()21ib b -=11b a +12b ia +21b ia +22b a =()2211b a b a ++()2112b a b a i -2211b a b a +=3Re Z ≤3Z =21Z Z ⋅=21Z Z ⋅=2221a a +2221b b +⋅ 不等式得证。

例2 若实数 z y x ,,满足等式 a z y x =++，22222a z y x =++ （0〉a ）求证 a x 320≤≤，a y 320≤≤，a z 320≤≤。

[]4 分析 此题可以多种方法证明 如不等式的性质，解析法等等，可若用复数 法，则明显更加简便。

证明 由题可得：z a y x -=+ （1）222221z a y x -=+ （2）设复数 iy x Z +=1 ix y Z +=2 则由 2121Z Z Z Z +≤+ 得 2222y x y x +≤+ （3） 将（1），（2）代入（3）得 222122z a z a -≤- 则有 2（222z az a +-）⎪⎭⎫⎝⎛-≤22214z a由此易得 a z 320≤≤ 同理可证 a x 320≤≤ a y 320≤≤。

由以上2个例题 我们可知在某些不等式证明题中，若能认真观察题目的结构特点，用复数的方法可以更加容易更加简洁的证明。

二、复数求函数的最值例3 求 45222++++=x x x y 的最小值。

解 因为()415222++=++x x x ()22224-+=+x x所以令()i x z 211++= i x z 22-= 则有 212221z z z z y +=+=，因为2121z z z z -≥+可得 ()()i x i x y 221--++≥i 41+=17=（当且仅当1z 与2z 共线，即xx 212-=+，亦既21-=x 时成立。

） 所以 17min =y 。

小结 求形如()()x g x f y +=的最小值，设复数1z 2z ，使()x f z =21，()x g z =22，且21z z +或21z z -为常数。

然后利用不等式公式 21z z +21z z ±≥来求解的。

例4 求函数2210222+--++=x x x x y 的最大值。

解 因为 ()22231102++=++x x x ()112222+-=+-x x x可设 i x z 311++= i x z 112+-=由复数模的性质可得 2121z z z z -≤+=22 所以有 222221≤+≤-z z 注意到 当且仅当21kz z =时 等号成立。

既 ()i x k i x +-=++131 可得 3=k 且2=x当2=x 时，有2213321=+-+=-i i z z 故222221≤+≤-z z ，即22221022222≤+--++≤-x x x x 可得函数在2=x 时取得最大值22。

总结 当题型具有复数模的差的形式时。

可以借助复数模的性质进行解题。

3.2 复数的几何应用对于诸如正多边形 等腰三角形 圆等平面几何问题，如果运用普通的平面几何方法不仅难度大技巧高，不易找到关键点甚至无从下手而且单一的方法易造成学生的思维定性。

为此寻找运用复数的方法去正题，不仅更加便利简洁而且更让学生耳目一新更好的接受吸收。