第六章留数理论及其应用
§ 1■留数
1.(定理6.1柯西留数定理)：
2.(定理6.2):设a为f(z)的m阶极点,
其中在点a解析，，则
3. (推论6.3):设a为f(z)的一阶极点, 则
4. (推论6.4)：设a为f(z)的二阶极点则
5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式
6. 无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号
7. (定理6.6)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点(或解析点)，则可以不为零。

&计算留数的另一公式:
§ 2■用留数定理计算实积分
型积分一引入
注：注意偶函数
型积分
1.(引理6.1大弧引理)：上
2.(定理6.7)设为有理分式，其中
为互质多项式，且符合条件:
(1)n-m> 2;
(2)Q(z)没有实零点
于是有
注: 可记为
型积分
3.(引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周充分大上连续，且
在上一致成立。

则
4.（定理6.8）:设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:
(1)Q的次数比P高;
(2)Q无实数解；
(3)m>0
则有
特别的，上式可拆分成：
——及——
四■计算积分路径上有奇点的积分
5.(引理
6.3小弧引理)：
于上一致成立，则有
五■杂例
六■应用多值函数的积分
§ 3■辐角原理及其应用
即为：求解析函数零点个数
1■对数留数：
2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n阶零点，贝U a必为函数------ 的一阶极点，并且
(2)设b为f(z)的m阶极点，贝U b必为函数--- 的一阶极点，并且
3. (定理6.9对数留数定理)：设C是一条周线，f(z)满足条件:
(1) f(z)在C的内部是亚纯的；
(2) f(z)在C上解析且不为零。

则有
注1:当条件更改为：(1) f在lnt(C)+C上解析；(2) C上有&0,有即
注2:条件可减弱为：f(z)连续到边界C,且沿C有f(z)工0
4. (辅角原理)：
5. (定理
6.10鲁歇(Rouche定理)：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件:
(1)它们在C的内部均解析，且连续到C;
(2)在C上，|f(z)|>| (z)|
则函数f(z)与f(z)+ (z)在C内部有同样多(几阶算几个)的零点，即
N( ,C)=N(f,C)
6. (定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f'(z)工0.。