第六章 量纲分析和相似原理答案6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q 与堰上水头H 、重力加速度g 、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m 0（量纲一的量）有关。

试用π定理导出三角形堰的流量公式。

解：()00θ=,,,,f Q H g m选几何学的量H ，运动学的量g 作为相互独立的物理量，有3个π项。

111πa H g Q β=，222a H g，3330πa H g m对1π，其量纲公式为11000-23-1L T M =L (LT )L T11L :03αβ=++，1T :021β=--解出152α=-，112β=-，则可得 152πQg H对2π，其量纲公式为220002L T M L (LT )22L :0αβ=+，2T :02β=-联立解上述方程组，可得02=α,02=β,02=γ，则可得2π对3π，其量纲公式为33000-2L T M L (LT )33L :0αβ=+，3T :02β=-联立解上述方程组，可得03=α,03=β,03=γ，则可得30πm123πππ0F ,,即052()0Q F m ,,或1052()Q F m ,2501),(H g m F Q θ=式中，θ要视堰口的实际角度而定，量纲一的量0m 要由实验来确定。

第十章三角形薄壁堰的理论分析解5204tan 252Qm gh 与上式形状相同。

6-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度ρ、动力粘度μ、断面平均流速v ，断面特性几何尺寸（例如管径d 、水力半径R ）及壁面粗糙凸出高度Δ有关。

试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数8(,)λ∆=f Re d，可得208λτρ=v 。

解：351240τkv d将上式写成量纲方程形式后得35124-1-23-1-110dim ML T =(ML )(ML T )(LT )(L)(L)ααααατ--=根据量纲和谐原理可得：12M :1αα=+12345L :13ααααα-=--+++ 23T :2αα-=--选53αα、为参变量，联立解上述方程组可得：131αα=-，232αα=-，4352ααα=-+-。

将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：3333551220k v d αααααατρμ---+-=∆μρν=，又因3322v v vαα-=,故5533222022(,)ααααρρτρν--∆∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭v v k k f Re v d d Red vd 若令8(,)λ∆=f Re d，代入上式可得208v λτρ=6-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。

解：0(,,,,,)0f v d τρμ∆=选取d 、v 、ρ为基本物理量，因此有三个π项11110πd v αβγρτ= 2222πd v αβγρμ= 3333πd v αβγρ=∆先求π1，其量纲式为11113-121dim πL (LT )(ML )(ML T )αβγ---=111L :031αβγ=+--1T :02β=-- 1M :01γ=+解上述方程组可得：1112,1,0βγα=-=-=，所以有012πvτρ= 再求π2，其量纲式为22213-1-12dim π(L)(LT )(ML )(ML T )αβγ--=222L :031αβγ=+--2T :01β=-- 2M :01γ=+解上述方程组可得：21γ=-，21β=-，21α=-，所以有21πμνρ===d v vd Re再求π3，其量纲式为333133dim πL (LT )(ML )L αβγ--=333L :031αβγ=+-+ 3T :0β=-3M :0γ=解上述方程组可得：30γ=，30β=，31α=-，所以有3πd∆=由此可得量纲一的量所表达的关系式为021(,,)0τρ∆=F v Re d或02(,)τρ∆=f Re v d，或20(,)f Re v d若令8(,)λ∆=f Re d，则可得208v λτρ=6-4文丘里管喉道处的流速v 2与文丘里管进口断面管径d 1、喉道直径d 2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp 有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q 的表达式。

解：212(,,,,,)0f v d d p ρμ∆=选取d 2，v 2，ρ三个基本物理量，有三个π项。

1111221πd v d αβγρ= 222222πd v αβγρμ= 333322πd v p αβγρ=∆ 先求π1：111L :031αβγ=+-+1T :0β=- 1M :0γ=解上述方程组可得：10β=，10γ=，11α=-，所以有112d d π=再求π2：222L :031αβγ=+--2T :01β=-- 2M :01γ=+解上述方程组可得：21γ=-，21β=-，21α=-，所以有222221πμνρ===v d v d Re再求π3：333L :031αβγ=+-- 3T :02β=-- 3M :01γ=+解上述方程组可得：31γ=-，32β=-，30α=，所以有322πpv ρ∆=由此可得12221(,,)0d p F d Re v或2221(,)ρ=∆v d f Re p d 22121(,)2ρ∆=d p v f Re d212(,)φρ∆=d p gRe g d 21=(,)2φd Re gH d 222221(,)24πφ==d Q v A d Re gH d上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的21(,)φd Re d ，可由实验及理论分析进一步确定。

6-5根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有：孔口的作用水头H （由孔口中心到恒定自由液面处的水深）、孔口的直径d 、液体的密度ρ、动力粘度μ、重力加速度g 及表面张力系数σ。

试用π定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。

解：(,,,,,,)0f v H d g ρμσ=选取H ，v ，ρ三个基本物理量，有四个π项。

1111πH v d αβγρ=2222πH v g αβγρ= 3333πH v αβγρμ=4444πH v αβγρσ=先求π1：111L :031αβγ=+-+1T :0β=- 1M :0γ=解上述方程组可得：11α=-，10β=，10γ=1πd H=再求π2，222L :031αβγ=+-+ 2T :02β=-- 2M :0γ=解上述方程组可得：2221,2,0αβγ==-=22πgHv =再求π3，333L :031αβγ=+--3T :01β=-- 3M :01γ=+解上述方程组可得：3331,1,1αβγ=-=-=-3πHv Hvμνρ==再求π4，444L :03αβγ=+- 4T :02β=-- 4M :01γ=+解上述方程组可得：4441,2,1αβγ=-=-=-42πHv σρ=由此可得22(,,,)0d gH F H v Hv Hv νσρ= 或22(,,)v H Hv Hv f gH d ρνσ= 上式中的Hvν及2Hv ρσ分别为雷诺数及韦伯数的形式，所以可以写成(,,φ=Hv Re We d因流量Q vA =，所以(,,H QRe We d 如果令(,,)HRe We d为孔口流量系数，则可得π4Q d μ=由上式可知，Q Hd、雷诺数Re 、韦伯数W e 有关，为深入研究找到了途径。

6-6 圆球在实际流体中作匀速直线运动所受阻力F D 与流体的密度ρ、动力粘度μ、圆球与流体的相对速度u 0、圆球的直径d 有关。

试用π定理求阻力F D 的表示式。

解：D 0(,,,,)0f F u d ρμ=选取d 、u 0、ρ为基本物理量，有二个π项。

11110D πd u F αβγρ=22220πd u βαγρμ=先求π1111L :031αβγ=+-+1T :02β=-- 1M :01γ=+解上述方程组可得：1112,2,1αβγ=-=-=-，所以有D1220πF d u ρ=再求π2，222L :031αβγ=+--2T :01β=-- 2M :01γ=+解上述方程组得：2221,1,1αβγ=-=-=-，2001πdu du Reμνρ===由此可得D 2201()0F F d u Re，ρ= 或22220π()()42ρρ'==D u d F d u f Re f Re令圆球在u 0方向的投影面积2π4A d =，而令绕流阻力系数D ()=C f Re ，则有20D D 2uF C A ρ=上式中的绕流阻力系数C D 与雷诺数Re 有关，可以对此作进一步的研究。

6-7用20℃的水作模型试验，确定管径为1.2m 煤气管的压强损失。

煤气的密度ρ为40kg/m 3，动力粘度μ为0.0002Pa s ⋅，流速v 为25m/s 。

实验室供水能力是0.0753m /s 。

问模型该用多大比尺？实验结果如何转换成原型的压强损失？解：可考虑按雷诺准则设计模型，λλλQ l。

流量比尺λQ ，因受供水能力限制，需小于或等于0.0753m /s ，所以应为2p m25π 1.2λ376.9940.075QQ Q粘度比尺p mλ，20℃水的62m 1.00310m /s ν-=⨯煤气的p 262p p 0.0002m /s 510m /s 40μνρ-===⨯，所以66510 4.9851.00310νλ--⨯==⨯62.75985.499.376===νλλλQ l 所以，可选取模型长度比尺62.75=l λ。

注：也可按自模区设计模型，在满足几何相似的条件下，选取模型尺寸，使其在现有供水情况下进入阻力平方区。

实验结果转换成原型的压强损失为2m p p m l p g p g νρλλρ∆⎛⎫∆= ⎪⎝⎭6-8有一管径d p =15cm 的输油管，管长l p ＝5m ，管中通过的原油流量Q p ＝0.18m 3/s 。

现用水来作模型实验，设模型与原型管径相同，且两者流体温度皆为10℃（水的运动粘度νm =0.0131cm 2/s ，油的运动粘度v m =0.13cm 2/s ），试求模型中的通过流量Q m 。

解：原型中的流速 p p 2p0.18m/s =10.191m/s 0.7850.15==⨯Q v A原型中的雷诺数 p pp -4p10.1910.15=1175880.1310ν⨯=⨯v d Re =>105 已进入自模区，只要使模型中的雷诺数m Re ≥105，且原型和模型几何相似即可。

则 m mm mν=v d Re ≥105，m v ≥54100.0131100.873m/s 0.15-⨯⨯=2m m m ==0.7830.7850.15m/s =0.0154m/s ⨯⨯Q v A6-9在习题6-8情况下，测得模型输水管长l m ＝5m 的两端压强水头差m h =mm p gρ∆=3cm 。