第二章 随机变量及其分布
1. 从一个装有4个红球和2个白球的口袋中不放回地任取5个球,以X 表示取出的红球个数.
(1) 求X 的分布律;(2) 求X 的分布函数; (3) 求)40(<<X P .
2. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21
,3211,10)(x b a x a x a x x F ，, 且2
1)2(=
=X P ,求b a ,和X 的分布律. 3. 设随机变量X 具有分布律
X -1 0 1 2 3
k p 0.16 10a 2a 5a 0.3 确定常数a .
4. 设在时间t(min)内,通过某十字路口的汽车数X 服从参数与t 成正比的泊松分布.已知在1min 内没有汽车通过的概率为0.2,求在2min 内有多于1辆汽车通过的概率.
5. 有一决策系统,其中每一成员作出决策互不影响,且每一成员作出正确决策的概率均为)10(<<p p ,当半数以上成员作出正确决策时,系统作出正确决策,问p 多大时,5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠?
6. 某商店出售某种商品,根据历史记录分析,月销售量服从参数5=λ的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件该种商品,才能以0.999的概率满足顾客的需求?
7. 设随机变量X ~),2(2σN ,且3.0)42(=<<X P ,求)0(<X P .
8. 设随机变量X ~),0(2σN ,问当σ取何值时, 概率)31(<<X P 取到最大?
9. 设随机变量X 的密度函数为
⎩⎨⎧<≥=-0
,00,4)(2x x xe x f x
求: (1) X 的分布函数;
(2) )12
1(<≤-
X P ; (3) )23(=X P . 10. 设随机变量X ~)1,0(U ,求X Y 32-=的密度函数.
11. 设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x Ae
x f x ,)(,求:
(1) 确定常数A ;
(2) )10(<<X P ;
(3) X 的分布函数.
12. 设随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<=　其他　
　,032,21,)(x B x Ax x f 且))3,2(())2,1((∈=∈X P X P ,求:
(1) 常数A,B;
(2) X 的分布函数.
13. 设随机变量X 的绝对值不大于1, 81)1(=-=X P ,41)1(==X P ,在事件)11(<<-X 出现的条件下, X 在)1,1(-内的任一子区间上的取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求X 的分布函数)()(x X P x F ≤=.
14.设离散型随机变量X 具有分布律 ,2,1,2
1)(===k k X P k ,求随机变量X Y 2sin π=的分布律.
15. 设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间T 的概率分布.
16. 设随机变量X ~)1,0(N ,求:
(1) 122
+=X Y 的密度函数; (2) X Z =的密度函数.
第2章补充练习参考答案
1. (1) X 3 4 k p
32 3
1 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=　
　4,143,3
23,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 255ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可
确定常数a ) 5. 2
1>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件
7. 0.2 8. 3ln 2
2=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2
110,21)(x e x e x F x x 12. (1),3
1,21==B A (2)
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(212
1),1(6
11,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.
Y -1 0 1
k p 152 31 15
8 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0
,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布
函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)
16. ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π
第二章补充练习参考答案
1. (1) X 3 4
k p 32 3
1
(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=　
　4,143,3
23,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 25
5ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可确定常数a ) 5. 2
1>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件
7. 0.2 8. 3ln 2
2=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2
110,21)(x e x e x F x x 12. (1),3
1,21==B A (2)
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(212
1),1(6
11,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.
Y -1 0 1
k p 152 31 15
8 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0
,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布
函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)
16. ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π。