2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数1.〔天津文〕19、〔本小题总分值14分〕函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈、 〔Ⅰ〕当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕当0t ≠时，求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点、【解析】〔19〕本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。

〔Ⅰ〕解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-〔Ⅱ〕解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：〔1〕假设0,,2tt t x<<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

〔2〕假设0,2t t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： 〔1〕当1,22tt ≥≥即时，()f x 在〔0，1〕内单调递减，2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间〔0，1〕内均存在零点。

〔2〕当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，假设33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点。

假设()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间〔0，1〕内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间〔0，1〕内均存在零点。

2.〔北京文〕18、〔本小题共13分〕 函数()()x f x x k e =-.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕求()f x 在区间[0,1]上的最小值.【解析】〔18〕〔共13分〕 解：〔Ⅰ〕.)1()(3e k x x f +-=' 令()0='x f ，得1-=k x 、)(x f 与)(x f '的情况如下：所以，)(x f 的单调递减区间是〔1,-∞-k 〕；单调递增区间是),1(+∞-k 〔Ⅱ〕当01≤-k ，即1≤k 时，函数)(x f 在[0，1]上单调递增， 所以f 〔x 〕在区间[0，1]上的最小值为;)0(k f -= 当21,110<<<-<k k 即时，由〔Ⅰ〕知()[0,1]f x k -在上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为1(1)k f k e --=-；当1,2k t k -≥=即时，函数()f x 在[0，1]上单调递减，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).f k e =-3.(全国大纲文)21、〔本小题总分值l2分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈〔I 〕证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点〔2，2〕；〔II 〕假设0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。

【解析】21、解：〔I 〕2'()3636.f x x ax a =++-…………2分由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点〔2，2〕 …………6分〔II 〕由2'()02120.f x x ax a =++-=得 〔i〕当11,()a f x ≤≤时没有极小值； 〔ii〕当11,'()0a a f x ><=或时由得12x a x a =-=-故02.x x =由题设知1 3.a <-当1a >时，不等式13a <-<无解。

当1a <时，解不等式513 1.2a a <-<-<<得 综合〔i 〕〔ii 〕得a的取值范围是5(,1).2- …………12分4.〔全国新文〕21、〔本小题总分值12分〕函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=、〔I 〕求a ，b 的值；〔II 〕证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-、【解析】〔21〕解： 〔Ⅰ〕221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知ln 1f ()1x x x x=++，所以)1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，那么22222)1()1(22)(x x x x x xx h --=---='所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h xx h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h x x h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x x x f x x x f x x 即且5.〔辽宁文〕20、〔本小题总分值12分〕设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P 〔1,0〕，且在P 点处的切斜线率为2、 〔I 〕求a ，b 的值； 〔II 〕证明：)(x f ≤2x -2、 【解析】20、解：〔I 〕()12.b f x ax x'=++…………2分 由条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即解得1, 3.a b =-=………………5分〔II 〕()(0,)f x +∞的定义域为，由〔I 〕知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+那么3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=-01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即………………12分6.〔江西文〕20、〔本小题总分值13分〕 设321().3f x x mx nx =++ 〔1〕如果()'()23x 2g x f x x =--=-在处取得最小值-5，求f (x)的解析式；〔2〕如果m n 10(m,n N),f (x)+<∈的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值；〔注；区间〔a ，b 〕的长度为b-a 〕【解析】20、〔本小题总分值13分〕解：〔1〕由题得222()2(1)(3)(1)(3)(1)g x x m x n x m n m =+-+-=+-+---()2g x x =-在处取得最小值-5所以212(3)(1)5m n m -=⎧⎨---=-⎩，即3,2m n ==即得所要求的解析式为321()32.3f x x x x =++ 〔2〕因为2'()2,()f x x mx n f x =++且的单调递减区间的长度为正整数， 故'()0f x =一定有两个不同的根， 从而22440m n m n ∆=->>即，不妨设为1221,,||x x x x -=则为正整数，故2m ≥时才可能有符合条件的m ，n 当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3时，只有n=5符合要求 当4m ≥时，没有符合要求的n综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。

7.〔山东文〕21、〔本小题总分值12分〕某企业拟建造如下图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥、假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞、设该容器的建造费用为y 千元、 〔Ⅰ〕写出y 关于的函数表达式，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的、 【解析】21、解：〔I 〕设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故322248044203()333V r l r r r r rππ-==-=- 由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤ 所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c rππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤ 〔II 〕由〔I 〕得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则 所以2228(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++ 〔1〕当9022m c <<>即时，∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。