习 题8．1利用4f 系统做阿贝—波特实验，设物函数t （x 1，y 1）为一无限大正交光栅 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=)comb()rect()comb()rect(),(21212111111111b y a y b b x a x b y x t 其中a 1、a 2分别为x 、y 方向上缝的宽度，b 1、b 2则是相应的缝间隔。

频谱面上得到如图8-53（a ）所示的频谱。

分别用图8-53（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .（a ） （b ） （c ） （d ）图8.53（题8.1 图）解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为T ( f x , f y ) = ℱ [ t ( x 1 , y 1 )]= { 11b ℱ [)rect(11a x ]·ℱ [)comb(11b x ] } *{21b ℱ [)rect(21a y ·ℱ [comb(21b y ]} 将函数展开得T ( f x , f y ) = {}•••++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(111111111b 1b 1-x x x f b a f b a f a b a * {}•••++++)δ(sinc(δ()sinc()sinc(222222222b 1b 1-y y y f b a f b a f a b a （1） 用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为1 f x = + 1/ b 1 f y = 0F ( f x , f y ) =0 f x ≠ 1/ b 1 f y = 任何值滤波后的光振幅函数为T ·F = [])δ()δ()sinc(111111b 1b 1-++x x f f b a b a 输出平面光振幅函数为t ’（x 3，y 3）= ℱ -1[ T ·F ] = )]}(exp [)](){exp [sinc(13131111b 2-b 2x j x j b a b a ππ+ = )(cos )sinc(131111b 22x b a b a π• 输出强度分布为 I （x 3，y 3）= )(cos )(sinc 1321122121b 24x b a b a π• = )cos()(sinc 131122121b 42x b a b a π• - C 其中C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为 1 f x ，f y ≠ 0F ( f x , f y ) =0 f x = f y = 0滤波后的光振幅函数为 T ·F = {}•••+++)()sinc()()sinc(11111111b 1b 1-x x f b a f b a b a δδ * {}•••+++)()sinc()()sinc(22222222b 1b 1-y y f b a f b a b a δδ 输出平面光振幅函数为t ’（x 3，y 3）= ℱ -1[ T ·F ] = {[)(rect 1311a x b *])comb(13b x - )rect(1311b x b a } × {[)(rect 2321a y b *])comb(23b y - )rect(2322b y b a }输出强度分布为I （x 3，y 3）= | t ’（x 3，y 3）|2 有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。

（3）用滤波器（d ）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b ’，它与物光栅周期b 1、b 2的关系为 2221111b b b +=’8．2 采用图8-53（b ）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm ，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为t ’（x 3）= ℱ -1 { )]()()[sinc(111122-b f b f b a x x ++δδ} = 13111142b x b a b a πcos )c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。

而干板记录到的是强度分布： I = 132112212144b x b a b a πcos )(sinc = 13112212182b x b a b a πcos )(sinc - C 其中C 是一个常数。

答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm 。

8．3 在4f 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，（a ）写出傅里叶平面P 2上的频谱分布表达式；（b ）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；（c ）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式；（d ）若将一个π位相滤波器 exp （j π） x 2，y 2 ≤ x 0，y 0H （x 2，y 2）=0 其它放在P 2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。

解答：将8．1题结果代入，其中b 1 = d = 4，a 1 = a = 1，除去与y 分量有关的项，可得（a ）P 2平面上的频谱分布为： })()sinc()()sinc(){sinc()(•••++++=414141-4141x x x x f f f f T δδ （b ）输出平面：复振幅 t （x 3）= ℱ -1[T （f x ）]若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即t (x 3) = )[rect(341x *)]comb(43x 光强分布 I (x 3) = | t (x 3)| 2 = )[rect(3161x *234)]comb(x (c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x 3) = )[rect(341x *)]comb(43x -)rect(4413x I = | t (x 3) | 2由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为a ’= 3，见下图t （x 3） I （x 3）3（d ）将一个π exp （j π） f x = f y = 0H （f x ，f y ）=1 f x ，f y ≠ 0只考虑一维情况，频谱变为T ’（f x ）= T （f x ）·H （f x ）= })()sinc()()sinc()exp(){sinc(•••++++414141-4141x x x f f j f δδπ =})()sinc()()sinc()sinc({•••++++414141-41-41x x x f f f δδ 输出平面上的复振幅为 t (x 3) = ℱ -1[T （f x ）·H （f x ）]= -)[rect()rect(334141x x +*)]comb(43x - )rect(4413x 8．4 图8-54所示的滤波器函数可表示为：1 f x ＞0H （f f ，f y ）= 0 f x ＝0-1 f x ＜0此滤波器称为希尔伯特滤波器。

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

LL 2x图8.54（题8.4 图）解答：位相物可表达为t0（x1，y1）= A·exp [ jφ（x1，y1）]对于弱位相物有φ< 1弧度，上式近似为（忽略A）t0（x1，y1）≅ 1+ jφ（x1，y1）滤波平面得到T（f，f y）= ℱ [t0（x1，y1）]x=δ（f x，f y）+ jΦ（f x，f y）其中Φ（f x，f y）= ℱ [φ（x1，y1）]。

经希尔伯特滤波器，频谱面后的光分布为T’（f x，f y）= T（f x，f y）·H（f f ，f y）jΦ（f，f y）f x > 0x= 0 f x= 0- jΦ（f x，f y）f x< 0像平面光场复振幅为（以下无把握）t’（x3，y3）= ℱ-1[T’（f x，f y）]jφ（-x3，-y3）x3> 0= 0 x3= 0- jφ（-x3，-y3）x3< 0光强分布为 I = t’·t’∗-φ2（-x3，-y3）x3> 0= 0 x3= 0φ 2（-x3，-y3）x3< 0（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）8．5 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀的照明光场，试说明其原理。

针孔图8.55（题8.5 图）8．6 光栅的复振幅透过率为t（x）= cos 2πf0 x把它放在4f系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2位相板，求像面的强度分布。

解答：将复振幅透过率函数变换为t （x ）= cos 2πf 0 x = [1+cos 2πf 0 x ] / 2其频谱为T （f x ）= ℱ [t （x ）] 21=δ（f x ）+ 21ℱ [cos 2πf 0 x ] = 21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）+ 41δ（f x + f 0） 其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。

设将λ/ 2位相板放在+1级谱上，其透过率表达为H （f x ）= exp （j π）则频谱面P 2后的光振幅变为T ’= T ·H =21δ（f x ）+ 41 δ（f x - f 0）·exp （j π）+ 41δ（f x + f 0） = 21δ（f x ）- 41 δ（f x - f 0）+ 41δ（f x + f 0） 像平面光场复振幅为t ’（x ）= ℱ -1 [T ’] =21 - 41exp （j 2πf 0x 3）+ 41exp （-j 2πf 0x 3） = 21 - 21j sin （2πf 0x 3） 像平面强度分布为I = t ’（x ） 2 = t ’（x ）· t ’（x ）∗ =41[1- j sin （2πf 0x 3）][1+ j sin （2πf 0x 3）] =41+41 sin 2（2πf 0x 3） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。