平面向量及其线性运算
（一）基础知识：
1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.
2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.
3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.
4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;
5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.
6.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.
7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使a =_____________________.
8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,
其中α+β=____, O 为平面内任意一点.
9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________.
（二）例题分析：
1.下列命题中，正确的是（ ）
A ．若c b b a //,//，则c a //
B ．对于任意向量b a ,+≥+
C =b a =或b a -=
D ．对于任意向量b a ,，有b a b a -≥+
2.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ）
A ．1142a b + B. 2133a b + C. 1124a b + D. 1
233
a b + （三）基础训练：
1.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
（A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→
0．
2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =--
3．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （ ） A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)2
2,
0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)2
2,0(),(∈-λλBC AB 4.已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ） A ．2OA OB - B ．2OA OB -+ C ．2133OA OB - D ．1233
OA OB -+ 5O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
6．已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=其中λ等于( ) （A ）２ （B ）12 （C ）－３ （D ）－13
7．设b a ,是两个不共线的非零向量，若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反，则k=__________.
8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两
点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．
9．三角形ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =
10.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝22.若OC ＝
μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .
11、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

如果向量1b 、2b 、3b ，
满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则
（ ）
A ．1230b b b -++=
B ．1230b b b -+=
C ．1230b b b +-=
D ．1230b b b ++=
12.如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ;
当12
x =-时,y 的取值范围是 .
参考答案
例题分析：
1. B ． 2．Ａ． 3．B.
基础训练： 1. C ； 2．B. 3．A ． 4. A ． 5．B 6．C ； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. 62.
11、D ．； 12. (,0)-∞，13(,)22
.
A
O
M P B。