定理7.5.1 设{B x (t)} 为始于 x 的布朗运动，则{B x (t)} 在 (0, t)
中至少有一个零点的概率为 | x |
t 3 x2
u 2 e 2u du 。
2 0
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定理7.5.2
B y (t) 在区间 (a, b) 中至少有一个零点的概率为
二、有吸收值的布朗运动
设{B(t), t 0}是一个布朗运动，Tx 为 B(t) 首次击中 x 的时刻，令
Z
(t)


X (t), x,
t Tx t Tx
则{Z (t), t 0}是击中 x 后，永远停留在那里的布朗运动，即带有
吸收值 x 的布朗运动。
注： Z (t), t 0 的分布：离散部分和连续部分分别是
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
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理学院x 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即Tx inf{t 0 : B(t) x} ，我们
可以计算出
x 0 时 P{Tx t} 2P{B(t) x}
2 e y2 2dy
2 x t
从而 P{Tx
2 arccos a 。

b
定理7.5.3 设{B y (t),t 0}是布朗运动，则
P{B y (t)在(a,b)中没有零点} 2 arcsin a 。

b
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7.6 布朗运动的几种变化
一、布朗桥
定义7.6.1 设 B(t), t 0 是一个布朗运动，令 B*(t) B(t) tB(1) ， 0 t 1
如果 1 ，称之为标准布朗运动，如果 1，则{X (t) / , t 0}
为标准布朗运动。不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。
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性质7.1.1 布朗运动{B(t), t 0}具有如下性质： (1). 增量具有正态性。即 B(t) B(s) ~ N (0, t s) ， s t (2). 增量是独立的。即 B(t) B(s) 与 B(u) 独立，这里 u s t (3). 路径的连续性。 B(t), t 0 是 t 的连续函数。
则称此过程为空间齐次的。 注：
布朗运动过程具有空间齐次性。
例7.1.1 设 B(t), t 0 是 标 准 布 朗 运 动 ， 计 算 P{B(2) 0} ， P{B(t) 0, t 0,1,2} 。
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7.2 高斯过程
定义7.2.1
有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。
则称随机过程 B* {B*(t),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
注：
布朗桥是高斯过程。且对任何 0 s t 1 ，有 EB*(t) 0 EB*(s)B*(t) s(1 t)
由定义可知， B*(0) B*(1) 0
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五、有漂移的布朗运动
设{B(t), t 0}是一个标准布朗运动， X (t) B(t) t ， 我 们称{X (t), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t), t 0 可以算出 P{布朗运动在下降b之前上升a} a ab
记 m(t) 为布朗运动在[0,t]中达到的最小值，即 m(t) min B(s) ，我们 0st
可以计算出当 x 0 ，有
P{m(t) x} P{Tx t}
2 x t e y2 2dy
2
如果时间 使得 B( ) 0 ，则称 为布朗运动的零点。
引理7.2.1
设
X
~
N
(1,

2 1
)
，
Y
~
N
(

2
,

2 2
)
相互独立，则
X
Y
~
N (, ) 。其中

(1, 1

2 )
，


2 1
2 1


2 1
2 1


2 2

定理7.2.1 布 朗 运 动 过 程 是 均 值 为 m(t) 0 ， 协 方 差 函 数 为
定义7.4.1
设 X (t), t 0 是一个连续随机过程，如果对任何 t, s 0 ，有 P{X (t s) y | Ft} P{X (t s) y | X (t)}, a.s.
则称为 Markov 过程。这里 Ft {X (u),0 u t}
定理7.4.1 布朗运动过程是马尔科夫过程。
P{Z (t) x} P{Z (t) y}
2
y2
e 2t dy
2t x
2
y u2
e 2t du
2t y2x
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三、在原点反射的布朗运动
设{B(t),t 0} 是一个布朗运动，令 Y (t) | B(t) |, t 0 则称 {Y (t), t 0} 是在原点反射的布朗运动。
0
3
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7.3 布朗运动的鞅性质
定理7.3.1 设 B(t) 是布朗运动，则 (1) B(t) 是鞅； (2) (B(t))2 t 是鞅；； (3) 对任何实数 u， exp{uB(t) u 2 t} 是鞅。
2
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7.4 布朗运动的马尔科夫性
2 0 y2
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则 Tx 为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。直观地看，布朗运
动以概率 1 击中 x，但它的平均时间是无穷的。
同样 x 0 时 P{Tx t}
2 e y2 2dy
2 x t
故有
fTx
(u
)


|

0,
x|
2
3 x2
注： X (t), t 0 的均值函数和方差函数分别为 EX (t) et 2 Var( X (t)) e2t et
例7.6.1 （股票期权的价值）
设某人拥有某种股票的交割时刻为 T，交割价格为 K 的欧式看涨期 权，即他具有在时刻 T 固定的价格 K 购买一股这种股票的权利。假 定这种股票目前的价格为 y，并按几何布朗运动变化，计算拥有这 个期权的平均价值。
(s, t) min(t, s) 的高斯过程。
例7.2.1 B(t) 是布朗运动，求：(1) B(1) B(2) B(3) B(4) 的
分 布 ； (2) B( 1 ) B( 1 ) B( 3 ) B(1) 的 分 布 ； (3) 424
1
P{ B(t)dt
2 }。
u 2e 2u ,
u0 u0
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记 M (t) 为布朗运动在[0,t]中达到的最大值，即 M (t) max B(s) ，我 0st
们可以计算出当 x 0 ，有
P{M (t) x} P{Tx t}
2 e y2 2dy
2 x t
第7章 布朗运动
7.1 基本概念与性质 7.2 Gauss过程 7.3 布朗运动的鞅性质 7.4 布朗运动的Markov性 7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律 7.6 布朗运动的几种变化
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7.1 基本概念与性质
定义7.1.1 随机过程{X (t),t 0} 如果满足
注：
如果没有假定 B(0) 0 ，即 B(0) x ，称之为始于 x 的布朗运动， 记为 B x (t) ，显然 B x (t) x B0 (t) 。
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定义7.1.2 设{X (t), t 0} 是随机过程，如果它的有限维分布时
空间平移不变的，即
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn | X (0) 0} P{X (t1) x1 x, X (t2 ) x2 x,, X (tn ) xn x | X (0) x}
(1).X (0) 0
(2). { X (t) , t 0 }有独立的平稳增量
(3). 对每个 t 0 ， X (t) 服从正态分布 N (0, 2t)
则称{ X (t) , t 0 }为布朗运动，也称维纳过程。常记为 B(t) , t 0 或W (t) , t 0 。
注：

}

lim
t
P{Tx
t} 1
，但是

ETx 0 P{Tx t}dt
2 x t e y2 2dydt
2 0 0
2
e y2 2dy
x2 y2
dt
2x2
1 e y2 2dy
2 0
0
2 0 y2
2x2e1 2 1 1 dy
注：
Y (t), t 0 的分布
P{Y (t) y} 2
y
e

u2 2t
du

1，
y

0
2t
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四、几何布朗运动
设 {B(t), t 0} 是一个布朗运动，令 X (t) eB(t) , t 0 则称 {X (t), t 0} 为几何布朗运动。