单位脉冲响应函数与 传递函数为Laplace变换 对
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
三、一阶系统的时间响应
2. 一阶系统单位阶跃响应
xi (t ) u (t 1
xo(t) 1 0.632
斜率1/T
X i (s) 1 s
1 1 X o (s) G (s) X i ( s) Ts 1 s 1 1 -1 -1 xo t L [ X o ( s )] L [ ] Ts 1 s
[ s 2Y ( s) sy(0 ) y(0 )] 7[ sY ( s) y(0 )] 12Y ( s) 6[ sR( s ) r (0 )] 12R( s)
( s 7) y(0 ) y(0 ) 6r (0 ) 6( s 2) Y ( s) 2 R( s) s 7 s 12 s 2 7 s 12
零状态响应项： B( t )
y( t ) B( t )

i 1
n
n
A1 i e si t
A1 i e si t
零 输 入 响 应 项 ： A2 i e si t
i 1

n

i 1

i 1
n
A2 i e si t
若无特殊说明，通常所述时间响应仅指零状态响应
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无阻尼系统


n

s1 s2

临界阻尼系统
过阻尼系统
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1. 二阶系统的单位脉冲响应
w(t ) L-1[G ( s ) X i ( s )] L-1[G ( s )]
2 2 1 n n L [ ] L-1[ 2 ] 2 2 2 2 s 2n s n ( s n ) (n 1 )
由xou ( t ) 1 e
1 (1 e
ts / T
稳态值 xo(t)
稳态值
.
0
ts
t(sec)
t / T
xou (t s ) 1 e ts / T
有e ts / T .1 t s T ln
) .1
时，ts 4T ;
t 0.85
), 求 其 脉 冲 响 应 函 数 。
解 ：（t） t ;
( t ) [t 0.85(1 e w ( t ) x or
t 1 .e 0.85 0.85

t 0.85
)] (1 e

t良才、吴波、陈良才
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二、典型的输入信号
xi(t) 1 h
0
xi(t) 1
t
0
xi(t)
t
0
t
(t 0) xi (t ) (t ) 0 (t 0) X i (s) 1
xi (t ) u (t ) 1 X i (s) 1 / s
x i ( t)
微分方程 传递函数
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt 1 G ( s) Ts 1
T为时间常数
w(t) 1/T 0.368/T 0 T t(sec)
1.一阶系统单位脉冲响应
xi (t ) (t X i (s) 1
1 X o (s) G(s) X i ( s) Ts 1 1 1 wt L-1[ X o ( s)] L-1[ ] et T Ts 1 T 1 t T e 瞬态响应 稳态响应 0 T
0
T
t(sec)
1 e t T
瞬态响应：et T 稳态响应： 1
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3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t) T
xi (t ) r (t t
1 X o (s) G (s) X i ( s) G( s) 2 s
-1 -1
X i (s) 1 s 2
4.时间常数对时间响应的影响
单位脉冲响应
单位阶跃响应
单位斜坡响应
结论1： 时间常数T 越小，系统惯性越小，系统响应越快； 时间常数T 越大，系统惯性越大，系统响应越慢。
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5.一阶系统性能指标——调整时间 ts 单位阶跃输入作用下，其响应与 稳态值相差等于容许误差所需要 的时间。 设相对容许误差
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2.时间响应的组成
求 y 7 y 12 y 6r 12r (其 中 ， r ( t ), y( t )分 别 为 系统的输入和输出 )在r (0 ), y(0 ), y (0 )时 的 解 。
解：在初始条件下，对 微分方程两边分别进行 Laplace 变化得：
1 s
零状态响应
零输入响应
2
强迫响应
自由响应
2
-3，-4是系统传递函数的极点（特征根）
零状态响应项： B( t ) y ( t ) B( t )

i 1 2 i 1
A1i e si t A2 i e si t
零 输 入 响 应 项 ： A2 i e si t
i 1


i 1
2
A1i e si t
5时，ts 3T。
越小，精度要求越高，调整时间ts 越长； T 越大，系统惯性越大，调整时间ts 越长。 调整时间反映系统响应的快速性
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四、二阶系统的时间响应
X o ( s) 传递函数： G ( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
1
若r (t ) u(t ), r (0 ) 0, y(0 ) 1, y(0 ) 1, 此时， R( s)
y(t ) L1 [
6( s 2) 1 ( s 7) 1 1 . ] L [ ] 2 2 s 7 s 12 s s 7 s 12 2 3 5 4 1 1 1 L [ ] L [ ] s s3 s4 s3 s4 1 2e 3 t 3e 4 t 5e 3 t 4e 4 t u( t ) 7e 3 t 7e 4 t
角频率为有阻尼固有频率的减幅振荡
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2) 时：
n -1 w(t ) L [n 2 ] n sin n t 2 s n
3) 1时：
1 0 T xo t L [ X o ( s )] L [G ( s ) 2 ] s 1 1 -1 L [ 2 ] L-1[ 1 T T ] Ts 1 s s2 s s 1 T t T (t 0) xo t t T Te
瞬态响应： Te t T 稳态响应： t T
xi (t ) r (t ) t
X i ( s ) 1/ s 2
xi(t)
x i ( t)
0
0
t
0
1 xi (t ) t 2 2 X i ( s ) 1/ s 3
t
xi (t ) sin t
t
X i (s) 2 制作：华中科技大学 s 2
熊良才、吴波、陈良才
三、一阶系统的时间响应

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对于一个 n阶 系 统 ， 其 微 分 方 程 为 a 0 y bm x ( m ) bm 1 x ( m 1) ... b1 x b0 x a n y ( n ) a n1 y ( n1 ) ... a1 y
Im [s] y Re
Im
Re
Im [s]
y
t
Re
Im
t
[s]
y
[s]
Re
t
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
Re
t
特征根实部Re[si]的正负决定自由响应的收敛性.Re[si]<0,自由响 应收敛，绝对值越大收敛越快； Re[si]>0,自由响应发散，绝对 值越大发散越快。 特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率
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Im
[s ]
Re
若所有特征根具有负实部 系统自由响应收敛 系统稳定 自由响应称为瞬态响应 强迫响应称为稳态响应
Im [s]
Re
若存在特征根的实部大于零 系统自由响应发散 系统不稳定 若有一对特征根的实部为零 其余特征根均小于零 系统自由响应最终为等幅振荡 系统临界稳定
6( s 2) 1 ( s 7 ) y ( 0 ) y ( 0 ) 6r ( 0 ) y( t ) L [Y ( s )] L [ 2 R( s )] L [ ] 2 s 7 s 12 s 7 s 12 1 1 ( s 7 ) y ( 0 ) y ( 0 ) 6r ( 0 ) L [G ( s ) R( s )] L [ ] 2 s 7 s 12
1 1
零状态响应（零初始状态下， 完全由输入所引起）。
零输入响应（系统无输入， 完全由初始状态所决定）。
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
6( s 2) 1 ( s 7) y(0 ) y (0 ) 6r (0 ) y(t ) L [ 2 R( s)] L [ ] 2 s 7 s 12 s 7 s 12
2 n
n ——无阻尼固有频率
——阻尼比
特征方程： 特征根：
0 1
j
s1